Потенциальная энергия имеется у системы взаимодействующих тел. Но отдельное деформированное тело также обладает такого типа энергией. В таком случае потенциальная энергия зависит от взаимного расположения частей тела.
Энергия упругой деформации
Если груз, подвешенный на проволоке, растягивает подвес и опускается, значит, сила тяжести совершает работу. За счет такой работы увеличивается энергия деформированного тела, которое перешло из ненапряженного состояния в напряженное. Получается, что при деформации внутренняя энергия тела увеличивается. Рост внутренней энергии тела заключается в увеличении потенциальной энергии, которая связана со взаимным расположением молекул тела. Если мы имеем дело с упругой деформацией, то после снятия нагрузки, дополнительная энергия исчезает, и за ее счет силы упругости совершают работу. В ходе упругой деформации температура твердых тел существенно не увеличивается. В этом состоит их значительное отличие от газов, которые при сжатии нагреваются. При пластической деформации твердые тела могут значительно увеличивать свою температуру. В повышении температуры, следовательно, кинетической энергии молекул, отражается рост внутренней энергии тела при пластической деформации. При этом увеличение внутренней энергии происходит также за счет работы сил, вызывающих деформацию.
Для того чтобы растянуть или сжать пружину следует выполнить работу () равную:
где - величина характеризующая изменение длины пружины (удлинение пружины); - коэффициент упругости пружины. Данная работа идут на изменение потенциальной энергии пружины ():
При записи выражения (2) считаем, что потенциальная энергия пружины без деформации равна нулю.
Потенциальная энергия упруго деформированного стержня
Потенциальная энергия упруго деформированного стержня при его продольной деформации равна:
где - модуль Юнга; - относительное удлинение; - объем стержня. Для однородного стержня при равномерной его деформации плотность энергии упругой деформации можно найти как:
Если деформация стержня является неравномерной, то при использовании формулы (3) для поиска энергии в точке стержня в эту формулу подставляют значение для рассматриваемой точки.
Плотность энергии упругой деформации при сдвиге находят, используя выражение:
где - модуль сдвига; - относительный сдвиг.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Камень, имеющий массу при выстреле из рогатки начал полет со скоростью . Каков коэффициент упругости резинового шнура рогатки, если при выстреле шнур получил удлинение ? Считайте, что изменением сечения шнура можно пренебречь. |
| Решение | В момент выстрела потенциальная энергия растянутого шнура () переходит в кинетическую энергию камня (). По закону сохранения энергии можно записать:
Потенциальную энергию упругой деформации резинового шнура найдем как:
где - коэффициент упругости резины, кинетическая энергия камня:
следовательно
Выразим коэффициент жесткости резины из (1.4): |
| Ответ |
ПРИМЕР 2
| Задание | Пружину, имеющую жесткость , сжимает сила, величина которой равна . Какова работа () приложенной силы при дополнительном сжатии этой же пружины еще на ? |
| Решение | Сделаем рисунок. |
Энергия взаимодействия тел. Потенциальной энергией тело само по себе не может обладать. определяется силой, действующей на тело со стороны другого тела. Поскольку взаимодействующие тела равноправны, то потенциальной энергией обладают только взаимодействующие тела.
A = Fs = mg (h 1 - h 2 ).
Теперь рассмотрим движение тела по наклонной плоскости. При перемещении тела вниз по наклонной плоскости сила тяжести совершает работу
A = mgscosα .
Из рисунка видно, что s cosα = h , следовательно
А = mg h .
Выходит, что работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела.
Равенство A = mg (h 1 - h 2 ) можно записать в виде A = - (mg h 2 - mgh 1 ).
Т. е. работа силы тяжести при перемещении тела массой m из точки h 1 в точку h 2 по любой траектории равна изменению некоторой физической величины mgh с противоположным знаком.
Физическая величина , равная произведению массы тела на модуль ускорения свободного падения и на высоту, на которую поднято тело над поверхностью Земли, называется потенциальной энергией тела.
Потенциальную энергию обозначают через Е р . Е р = mgh , следовательно:
A = - (Е р 2 - Е р 1 ).
Тело может обладать как положительной, так и отрицательнойпотенциальной энергией. Тело массой m на глубине h от поверхности Земли обладает отрицательной потенциальной энергией: Е р = - mgh .
Рассмотрим потенциальную энергию упругодеформированного тела.
Прикрепим к пружине с жесткостью k брусок, растянем пружину и отпустим брусок. Под действием силы упругости растянутая пружина приведет в действие брусок и переместит его на некоторое расстояние. Вычислим работу силы упругости пружины от некоторого начального значения x 1 до конечного x 2 .
Сила упругости в процессе деформации пружины изменяется. Чтобы найти работу силы упругости можно взять произведение среднего значения модуля силы и модуля перемещения:
А = F у.ср (x 1 - x 2 ).
Так как сила упругости пропорциональна деформации пружины, то среднее значение ее модуля равно
Подставив это выражение в формулу работы силы, получим:
Физическую величину , равную половине произведения жесткости тела на квадрат его деформации, называют потенциальной энергией упругодеформированного тела:
Откуда следует, что A = - (Е р2 - Е р1 ).
Как и величина mgh , потенциальная энергия упругодеформированного тела зависит от координат, поскольку x 1 и x 2 - это удлинения пружины и в то же время - координаты конца пружины. Поэтому можно сказать, что потенциальная энергия во всех случаях зависит от координат.
Практическая работа № 5
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ.
СРАВНЕНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ РАСТЯНУТОЙ ПРУЖИНЫ С ИЗМЕНЕНИЕМ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ТЕЛА.
Оборудование: два штатива для фронтальных работ; динамометр учебный; шар; нитки; листы белой и копировальной бумаги; линейка измерительная; весы учебные со штативом; гири.
З а д а н и е
Сравните уменьшение потенциальной энергии растянутой пружины с увеличением кинетической энергии тела, связанного с пружиной.
Теоретические основы работы.
На основании закона сохранения и превращения энергии при взаимодействии тел силами упругости изменение потенциальной энергии растянутой пружины должно быть равно изменению кинетической энергии связанного с ней тела, взятому с противоположным знаком:
∆Eс = – ∆ Ek
Для экспериментальной проверки этого утверждения можно воспользоваться установкой, изображенной на рисунке 1. В лапке штатива закрепляют динамометр. К его крючку привязывают шар на нити длиной 60—80 см. На другом штативе на одинаковой высоте с динамометром укрепляют в лапке желоб. Установив шар на краю желоба и удерживая его, отодвигают второй штатив от первого на длину нити. Если отодвинуть шар от края желоба на х, то в результате деформации пружина приобретет запас потенциальной энергии
где k — жесткость пружины.
Затем шар отпускают. Под действием силы упругости шар приобретает скорость v. Пренебрегая потерями, вызванными действием силы трения, можно считать, что потенциальная энергия растянутой пружины полностью превратится в кинетическую энергию шара:
Скорость шара можно определить, измерив дальность его полета s при свободном падении с высоты h. Из выражений v= и следует, что Тогда
Целью работы является проверка равенства:
С учетом равенства Fy= kx получим:
1. Укрепите на штативах динамометр и желоб на одинаковой высоте h =40 см от поверхности стола. Зацепите за крючок динамометра нить, привязанную другим концом к шару. На предполагаемое место падения шара положите лист белой бумаги и сверху него лист копировальной бумаги.
Расстояние между штативами должно быть таким, чтобы шар находился на краю желоба при натянутой нити и отсутствии деформации пружины динамометра.
2. Отодвигайте шар от края желоба до тех пор, пока показания динамометра не станут равными Fy=2H. Отпустите шар и заметьте место его падения на стол по отметке на листе бумаги.
Опыт повторите не менее 10 раз. Определите среднее значение дальности полета sср.
3. Измерьте деформацию x пружины динамометра при силе упругости Fy=2 Н. Вычислите потенциальную энергию растянутой пружины.
4. Измерьте массу шара с помощью весов и вычислите увеличение его кинетической энергии.
5. Результаты измерений и расчетов занесите в отчетную таблицу.
Отчетная таблица
6. Сделайте вывод о выполнении закона сохранения энергии.
Контрольные вопросы
В каких случаях выполняется закон сохранения механической энергии? Чем можно объяснить неточное равенство изменений потенциальной энергии пружины и кинетической энергии шара?
Упругое тело, будучи деформировано, является аккумулятором энергии, затраченной на деформацию. При устранении действующих сил эта энергия отдается упругим телом в том или ином виде. Использование упругого аккумулятора энергии широко распространено и находит применение в конструкции заводного механизма часов, некоторых самопишущих приборов и т. п.
В общем случае внешние силы, прикладываемые к упругому телу, производят работу А, которая идет, с одной стороны, на сообщение скорости частицам тела, то есть переходит в кинетическую энергию Т, с другой - накапливается в виде потенциальной энергии деформации. Уравнение баланса энергии есть
Величина U представляет собою ту часть работы, которая тратится на деформирование тела и, если тело упруго, остается в нем до тех пор, пока нагрузка не изменяется. Для подсчета величины U нужно предположить, что внешняя сила прикладывается таким образом, что кинетическая энергия Т равна нулю. Для этого нужно, чтобы сила Р прикладывалась не сразу, а постепенно, а именно возрастала от нуля до максимума так медленно, что можно считать скорость деформации практически отсутствующей и пренебречь силами инерцин. В этом и только в этом случае внутренние силы упругости в каждый момент процесса уравновешиваются внешними силами, и поэтому можно приняты
Процесс деформации можно представить как последовательность бесконечно малых приращений удлинения вызываемых ростом силы Р, которая при растяжении - сжатии однозначно связана с удлинением законом Гука:
Приращению удлинения соответствует элементарная работа:
Интегрируя от до конечного значения имеем:
Заменяя здесь силу Р ее выражением по закону Гука (28.2), получим:
Приводим еще две эквивалентные формы записи выражения потенциальной энергии растяжения:
При пользовании формулами (28.5) и (28.6) нужно помнить, что Р представляет собою внешнюю силу лишь тогда, когда стержень находится в состоянии покоя. В динамических задачах сила, растягивающая стержень, вообще говоря, составляет сумму внешней силы и силы инерции. Эта сумма и фигурирует в формулах (28.5) и (28.6).
Энергию упругой деформации растяжения - сжатия удобно относить к единице объема стержня. Эта величина выражается так:
В стержне, приведенном в пластическое состояние, работа внешней деформирующей силы расходуется также и на пластическое деформирование. Соответствующая часть работы связана с необратимыми изменениями размеров и переходит в иемеханические виды энергии. Уравнение баланса энергии будет
Деформированное упругое тело (например, растянутая или сжатая пружина) способно, возвращаясь в недеформированное состояние, совершить работу над соприкасающимися с ним телами. Следовательно, упруго деформированное тело обладает потенциальной энергией. Она зависит от взаимного положения частей тела, например витков пружины. Работа, которую может совершить растянутая пружина, зависит от начального и конечного растяжений пружины. Найдем работу, которую может совершить растянутая пружина, возвращаясь к нерастянутому состоянию, т. е. найдем потенциальную энергию растянутой пружины.
Пусть растянутая пружина закреплена одним концом, а второй конец, перемещаясь, совершает работу. Нужно учитывать, что сила, с которой действует пружина, не остается постоянной, а изменяется пропорционально растяжению. Если первоначальное растяжение пружины, считая от нерастянутого состояния, равнялось , то первоначальное значение силы упругости составляло , где - коэффициент пропорциональности, который называют жесткостью пружины. По мере сокращения пружины эта сила линейно убывает от значения до нуля. Значит, среднее значение силы равно . Можно показать, что работа равна этому среднему, умноженному на перемещение точки приложения силы:
Таким образом, потенциальная энергия растянутой пружины
Такое же выражение получается для сжатой пружины.
В формуле (98.1) потенциальная энергия выражена через жесткость пружины и через ее растяжение . Заменив на , где - упругая сила, соответствующая растяжению (или сжатию) пружины , получим выражение
которое определяет потенциальную энергию пружины, растянутой (или сжатой) силой . Из этой формулы видно, что, растягивая с одной и той же силой разные пружины, мы сообщим им различный запас потенциальной энергии: чем жестче пружина, т.е. чем больше ее упругость, тем меньше потенциальная энергия; и наоборот: чем мягче пружина, тем больше энергия, которую она запасет при данной растягивающей, силе. Это можно уяснить себе наглядно, если учесть, что при одинаковых действующих силах растяжение мягкой пружины больше, чем жесткой, а потому больше и произведение силы на перемещение точки приложения силы, т. е. работа.
Эта закономерность имеет большое значение, например, при устройстве различных рессор и амортизаторов: при посадке на землю самолета амортизатор шасси, сжимаясь, должен произвести большую работу, гася вертикальную скорость самолета. В амортизаторе с малой жесткостью сжатие будет больше, зато возникающие силы упругости будут меньше и самолет будет лучше предохранен от повреждений. По той же причине при тугой накачке шин велосипеда дорожные толчки ощущаются резче, чем при слабой накачке.
Загрузка...
