Top enerji formülü. Yüklerin elektrostatik enerjisi

7. Elektrik alan enerjisi

(Problem çözme örnekleri)

Şarj etkileşim enerjisi

Örnek 1.

Bir karenin köşelerinde bulunan nokta yüklerin kenarlarla etkileşiminin elektrik enerjisini belirleyin A(bkz. Şekil 2).

Çözüm.

Şekil 3'te, yüklerin tüm ikili etkileşimleri geleneksel olarak çift yönlü oklarla gösterilmektedir. Tüm bu etkileşimlerin enerjilerini hesaba katarak şunu elde ederiz:

Örnek 2.

Şekil 4'te gösterildiği gibi, yüklü bir halkanın kendi ekseni üzerinde bulunan bir dipol ile etkileşiminin elektrik enerjisini belirleyin. Bilinen mesafeler A, ben, masraflar Q, Q ve halka yarıçapı R.

Çözüm.

Sorunu çözerken, bir cismin (halkanın) yüklerinin başka bir cismin (dipol) yükleriyle çift etkileşimlerinin tüm enerjileri dikkate alınmalıdır. Bir nokta yükünün etkileşim enerjisi Qücretli Q halka üzerine dağıtılan toplamla belirlenir

,

Nerede
- sonsuz küçük bir halka parçasının yükü, - bu parçadan yüke olan mesafe Q. Çünkü her şey aynı ve eşit
, O

Benzer şekilde, bir nokta yükünün etkileşim enerjisini de buluyoruz: Q yüklü halkayla:

Özetleme K 1 ve KŞekil 2'de halkanın dipol ile etkileşiminin enerjisini elde ederiz:

.

Yüklü iletkenlerin elektrik enerjisi

Örnek 3.

Düzgün yüklü bir kürenin yarıçapı 2 kat azaldığında elektrik kuvvetlerinin yaptığı işi belirleyin. Küre yükü Q, başlangıç ​​yarıçapı R.

Çözüm.

Tek bir iletkenin elektrik enerjisi aşağıdaki formülle belirlenir:
, Nerede Q– iletkenin yükü,  – potansiyeli. Düzgün yüklü yarıçaplı bir kürenin potansiyeli göz önüne alındığında R eşittir
, elektrik enerjisini bulalım:

.

Kürenin yarıçapı yarıya indirildiğinde enerjisi şuna eşit olur:

.

Elektrik kuvvetleri iş yapar

.

Örnek 4.

Yarıçapları eşit olan iki metal top R ve 2 R ve karşılık gelen masraflar 2'dir Q Ve - Q, birbirinden çok uzakta bir boşlukta bulunur. Toplar ince bir tel ile bağlanırsa sistemin elektrik enerjisi kaç kat azalır?

Çözüm.

Topları ince bir tel ile bağladıktan sonra potansiyelleri aynı olur.

,

ve topların sabit yükleri Q 1 ve Q 2, bir toptan diğerine yük akışı sonucunda elde edilir. Bu durumda topların toplam yükü sabit kalır:

.

Bu denklemlerden bulduğumuz

,
.

Topların tel ile bağlanmadan önceki enerjisi eşittir

,

ve bağlantıdan sonra

.

Değerleri son ifadeye koyma Q 1 ve Q 2, basit dönüşümlerden sonra elde ederiz

.

Örnek 5.

Tek bir top halinde birleştirildi N= Her birinin yükü olan 8 özdeş cıva topu Q. Başlangıç ​​durumunda cıva toplarının birbirinden oldukça uzakta olduğunu varsayarak sistemin elektrik enerjisinin kaç kat arttığını belirleyin.

Çözüm.

Cıva küreleri birleştiğinde toplam yükleri ve hacimleri korunur:

,

Nerede Q– topun hücumu, R– yarıçapı, R her küçük cıva topunun yarıçapıdır. Toplam elektrik enerjisi N yalnız toplar eşittir

.

Ortaya çıkan topun elektrik enerjisi

.

Cebirsel dönüşümlerden sonra elde ederiz

= 4.

Örnek 6.

Metal yarıçaplı top R= 1 mm ve şarj Q= 0,1 nC büyük bir mesafeden yavaşça yüksüz bir iletkene yaklaşırlar ve topun potansiyeli  = 450 V'a eşitlendiğinde dururlar. Bunun için ne gibi işler yapılmalıdır?

Çözüm.

,

Nerede Q 1 ve Q 2 – iletkenlerin yükleri,  1 ve  2 – potansiyelleri. Soruna göre iletken şarj edilmediğinden, o zaman

,

Nerede Q 1 ve 1 yük ve topun potansiyeli. Top ve yüksüz iletken birbirinden çok uzakta olduğunda,

,

ve sistemin elektrik enerjisi

.

Sistemin son durumunda topun potansiyeli 'ye eşit olduğunda sistemin elektrik enerjisi:

.

Dış kuvvetlerin işi elektrik enerjisinin artışına eşittir:

= –0,0225 µJ.

Sistemin son durumundaki elektrik alanının, iletken üzerinde indüklenen yüklerin yanı sıra metal topun yüzeyi üzerinde eşit olmayan şekilde dağılmış yükler tarafından yaratıldığına dikkat edin. Bilinen bir iletken geometrisi ve metal topun belirli bir konumu ile bu alanı hesaplamak çok zordur. Sorun sistemin geometrik konfigürasyonunu değil, topun son durumdaki potansiyelini belirlediği için bunu yapmamıza gerek yoktu.

Örnek 7 .

Sistem yarıçaplı iki eşmerkezli ince metal kabuktan oluşur. R 1 ve R 2 (
ve ilgili masraflar Q 1 ve Q 2. Elektrik enerjisini bulun K sistemler. Şu özel durumu da göz önünde bulundurun:
.

Çözüm.

İki yüklü iletkenden oluşan bir sistemin elektrik enerjisi formülle belirlenir.

.

Sorunu çözmek için iç ( 1) ve dış ( 2) kürelerin potansiyellerini bulmak gerekir. Bunu yapmak zor değil (kılavuzun ilgili bölümüne bakın):

,
.

Bu ifadeleri enerji formülünde yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

.

Şu tarihte:
enerji eşittir

.

Kendi elektrik enerjisi ve etkileşim enerjisi

Örnek 8.

Yükleri iki iletken küre Q Ve - Q, yarıçap R 1 ve R 2, birbirlerinden büyük bir mesafede bir vakumda bulunur. Daha büyük yarıçaplı küre R 2, iki yarım küreden oluşur. Yarımküreler ayrılarak yarıçap küresine getirilir R 1 ve tekrar bağlanarak küresel bir kapasitör oluştururlar. Kapasitörün bu tasarımıyla elektriksel kuvvetlerin çalışmasını belirleyin.

Çözüm.

Birbirine uzak iki yüklü kürenin elektrik enerjisi eşittir

.

Ortaya çıkan küresel kapasitörün elektrik enerjisi:

,

İç kürenin potansiyeli,
- dış kürenin potansiyeli. Buradan,

Kapasitörün bu tasarımıyla elektriksel kuvvetlerin çalışması:

Küresel bir kapasitörün elektrik enerjisinin K 2, kondansatörü şarj etmek için dış kuvvetlerin yaptığı işe eşittir. Bu durumda elektriksel kuvvetler iş yapar
. Bu iş yalnızca yüklü levhalar birbirine yaklaştırıldığında değil, aynı zamanda levhaların her birine yük uygulandığında da gerçekleştirilir. Bu yüzden A EL yukarıda bulunan çalışmadan farklıdır A, ancak plakalar bir araya geldiğinde elektrik kuvvetleriyle mükemmelleşir.

Örnek 9.

Puan ücreti Q= 1,5 µC, yüzeyi üzerinde yükün eşit olarak dağıldığı küresel bir kabuğun merkezinde bulunur Q= 5 µC. Kabuk genişlediğinde elektrik kuvvetlerinin yaptığı işi bulun - yarıçapı artar R 1 = 50 mm'ye R 2 = 100mm.

Çözüm.

Bir nokta yükünün etkileşim enerjisi Q yarıçaplı küresel bir kabuk üzerinde bulunan yüklerle R eşittir

,

Kabuğun öz-elektrik enerjisi (kabuk yüklerinin birbirleriyle etkileşiminin enerjisi) şuna eşittir:

.

Kabuk genişlemesi sırasında elektrik kuvvetlerinin çalışması:

.

Dönüşümlerden sonra elde ederiz

1.8 J.

Başka bir çözüm

Küçük yarıçaplı, düzgün yüklü bir küre biçiminde bir nokta yükü hayal edelim. R ve şarj et Q. Sistemin toplam elektrik enerjisi eşittir

,

Yarıçaplı Küre Potansiyeli R,

Yarıçaplı Küre Potansiyeli R. Dış küre genişlediğinde elektriksel kuvvetler iş yapar

.

Yer değiştirmeler ve dönüşümlerden sonra cevabı alıyoruz.

Hacimsel elektrik alanı enerji yoğunluğu

Örnek 10 .

Boşlukta bulunan yüklü iletken bir topun elektrik enerjisinin ne kadarı, yarıçapı eşit olan topla eş merkezli hayali bir kürenin içinde bulunur? Nçarpı topun yarıçapı?

Çözüm.

Hacimsel elektrik alanı enerji yoğunluğu

elektrik enerjisini tanımlar
sonsuz küçük bir hacimde lokalize edilmiş
(e– bu hacimdeki elektrik alan kuvveti vektörünün modülü,  – dielektrik sabiti). Yüklü iletken bir topun toplam elektrik enerjisini hesaplamak için, tüm uzayı zihinsel olarak yüklü topla eş merkezli sonsuz incelikte küresel katmanlara bölelim. Bu yarıçap katmanlarından birini ele alalım R ve kalınlık doktor(bkz. Şekil 5). Onun hacmi

,

ve katmanda yoğunlaşan elektrik enerjisi

.

Tansiyon e Yüklü iletken bir topun alanı bilindiği gibi mesafeye bağlıdır. R topun merkezine. Topun içinde
bu nedenle, enerjiyi hesaplarken yalnızca yarıçapı eşit olan küresel katmanları dikkate almak yeterlidir. R topun yarıçapını aşan R.

Şu tarihte:
alan kuvveti

,

dielektrik sabiti
ve bu nedenle

,

Nerede Q– topun hücumu.

Yüklü bir topun toplam elektrik enerjisi integral tarafından belirlenir.

,

ve hayali yarıçaplı bir kürenin içinde yoğunlaşan enerji nR, eşittir

.

Buradan,

.

Örnek 11.

Yüklü iletken bir top ve onunla eşmerkezli yüksüz iletken küresel katmandan oluşan bir sistemin elektrik enerjisini belirleyin (Şekil 6). Katmanın iç ve dış yarıçapları A Ve B, topun yarıçapı
, şarj Q sistem boşluktadır.

Çözüm.

İndüklenen yükler küresel tabakanın iç ve dış yüzeylerine dağıtılır. Cebirsel toplamları sıfır olduğundan indüklenen yükler bir elektrik alanı yaratmaz.
, Nerede R– sistemin merkezine olan mesafe. Bölgede
indüklenen yüklerin alan kuvveti de sıfırdır çünkü bunlar küresel yüzeyler üzerinde eşit olarak dağılmıştır. Böylece, sistemin elektrik alanı, küresel katmanın iç bölgesi hariç, yüzey üzerinde eşit olarak yüklenen bir kürenin alanıyla çakışır; burada e= 0. Şekil 7 bağımlılığın yaklaşık grafiğini göstermektedir
. Ayrıntılı hesaplamaları atlayarak (bkz. örnek 10), sistemin elektrik enerjisi için şunu yazıyoruz:

,

Nerede
,
,
. Entegrasyondan sonra şunu elde ederiz

.

Örnek 12.

Başlangıç ​​ücreti Q yarıçaplı bir topun hacmi boyunca eşit olarak dağılmış R. Daha sonra karşılıklı itme nedeniyle yükler topun yüzeyine doğru hareket eder. Elektrik kuvvetleri hangi işi yapar? Dielektrik sabitinin birliğe eşit olduğunu düşünün.

Çözüm.

Elektriksel kuvvetlerin işi elektrik enerjisi kaybına eşittir:

,

Nerede K 1 – hacim boyunca eşit olarak yüklenen bir kürenin elektrik enerjisi, K 2 – aynı topun yüzeyi üzerinde eşit olarak yüklenen enerjisi. Her iki durumda da toplam yük aynı olduğundan, yük hacimden yüzeye geçtiğinde topun dışındaki elektrik alanı değişmez. Elektrik alanı ve enerji yalnızca topun içinde değişir.

Gauss teoremini kullanarak, belli bir mesafede eşit yüklü bir topun içindeki alan kuvveti için bir formül elde edebiliriz. R merkezinden:

.

Topun içinde yoğunlaşan elektrik enerjisi integral tarafından belirlenir:

.

Topun yüzeyine tüm yükler aktarıldığında elektrik alanı ve dolayısıyla topun içindeki elektrik alanın enerjisi sıfır oldu. Böylece,

.

Bölüm 8

ELEKTROSTATİK ENERJİ

§1.Yüklerin elektrostatik enerjisi. Homojen top

§2. Kondansatör enerjisi. Yüklü iletkenlere etki eden kuvvetler

§3. İyonik bir kristalin elektrostatik enerjisi

§4. Çekirdeğin elektrostatik enerjisi

§5.Elektrostatik alandaki enerji

§6. Bir nokta yükünün enerjisi

Tekrarlamak: Ch. 4 (sayı 1) “Enerji Tasarrufu”; Ch. 13 ve 14 (sayı 1) “İş ve potansiyel enerji”

§ 1. Yüklerin elektrostatik enerjisi. Homojen top

Mekaniğin en ilginç ve yararlı keşiflerinden biri enerjinin korunumu yasasıdır. Mekanik bir sistemin kinetik ve potansiyel enerjilerine ilişkin formülleri bildiğimizden, bu anlar arasında olup bitenlerin ayrıntılarına girmeden, zamanın iki farklı anında sistemin durumları arasındaki bağlantıyı tespit edebiliyoruz. Şimdi elektrostatik sistemlerin enerjisini belirlemek istiyoruz. Elektrikte, enerjinin korunumu birçok ilginç gerçeğin keşfedilmesinde aynı derecede yararlı olacaktır.

Elektrostatik etkileşim sırasında enerjinin değiştiği yasa çok basittir; aslında bunu zaten tartışmıştık. Suçlamalar olsun Q 1 ve Q 2 , r 12 boşluğu ile ayrılmıştır. Bu sistemin bir miktar enerjisi var çünkü yükleri bir araya getirmek biraz iş gerektiriyordu. İki yük birbirine çok uzak bir mesafeden yaklaştığında yapılan işi hesapladık; eşit

Süperpozisyon ilkesinden biliyoruz ki, eğer çok sayıda yük varsa, yüklerden herhangi birine etki eden toplam kuvvet, diğer tüm yüklere etki eden kuvvetlerin toplamına eşittir. Bundan, birkaç yükten oluşan bir sistemin toplam enerjisinin, her bir yük çiftinin ayrı ayrı etkileşimini ifade eden terimlerin toplamı olduğu sonucu çıkar. Eğer Q Ben Ve Q J - - yüklerden birkaçı ve aralarındaki mesafe r ben(Şekil 8.1),

İncir. 8.1. Parçacıklardan oluşan bir sistemin elektrostatik enerjisi, her bir çiftin elektrostatik enerjilerinin toplamıdır.

o zaman bu özel çiftin enerjisi eşittir

Toplam elektrostatik enerji sen tüm olası yük çiftlerinin enerjilerinin toplamıdır:

Eğer dağılım yük yoğunluğu r ile veriliyorsa, o zaman (8.3)'teki toplamın elbette bir integralle değiştirilmesi gerekir.

Burada enerjiyi iki açıdan konuşacağız. Birinci - başvuru enerji kavramlarından elektrostatik problemlere; ikinci - farklı yollar değerlendirmeler enerji değerleri. Bazen bazı durumlarda yapılan işi hesaplamak (8.3)'teki toplamın değerini veya karşılık gelen integralin değerini tahmin etmekten daha kolaydır. Bir örnek için, yüklerden düzgün yüklü bir top oluşturmak için gereken enerjiyi hesaplıyoruz. Buradaki enerji, sonsuzluktan gelen yükleri toplamak için harcanan işten başka bir şey değildir.

Sonsuz küçük kalınlıktaki küresel katmanları art arda üst üste koyarak bir top oluşturduğumuzu hayal edin. Sürecin her aşamasında az miktarda elektrik toplayıp bunu r'den r'ye kadar ince bir tabakaya yerleştiriyoruz. r+dr. Verilen yarıçapa ulaşana kadar bu işleme devam ediyoruz. A(Şekil 8.2). Eğer Q R-- top r yarıçapına getirildiğinde topun üzerindeki yük, ardından yükü topa iletmek için gereken iş dQ, eşittir

İncir. 8.2. Düzgün yüklü bir topun enerjisi, küresel katmanların birbiri üzerine art arda katmanlanmasıyla kalıplandığı düşünülerek hesaplanabilir.

Topun içindeki yük yoğunluğu r ise yük Q R eşittir

Denklem (8.4) şöyle olur

Dolu bir yük topunu biriktirmek için gereken toplam enerji, integrale eşittir. dÜ r=0'dan r=a'ya, yani

ve sonucu toplam ücret cinsinden ifade etmek istersek Q top o zaman

Enerji toplam yükün karesiyle orantılı, yarıçapla ters orantılıdır. (8.7)'yi şu şekilde temsil edebilirsiniz: topun içindeki tüm nokta çiftleri üzerindeki ortalama değer (1/r ij) 6/5 a'ya eşittir.

§ 2. Kondansatör enerjisi. Yüklü iletkenlere etki eden kuvvetler

Şimdi kondansatörü şarj etmek için gereken enerjiyi düşünelim. Eğer şarj Q idi kapasitörün bir plakasından çıkarılıp diğerine aktarıldığında, plakalar arasında eşit bir potansiyel fark ortaya çıkar

Nerede İLE - kapasitör kapasitesi. Kapasitörü şarj etmek için ne kadar iş gerekir? Topla yaptığımızın aynısını yaparak, yükü bir plakadan diğerine küçük porsiyonlar halinde aktararak kapasitörün zaten şarj edildiğini hayal edin. dQ.Ücreti aktarmak için gereken çalışma dQ,eşit

Alma V(8.8)'den yazıyoruz

Veya, şuradan entegre ediliyor: S=0 son şarja Q, aldık

Bu enerji şu şekilde de yazılabilir:

İletken bir kürenin kapasitesinin (sonsuzluğa göre) eşit olduğunu hatırlamak

yüklü kürenin enerjisini denklem (8.9)'dan hemen elde ederiz

Bu ifade elbette aynı zamanda süptil olanın enerjisi için de geçerlidir. küresel katman tam şarjlı Q; 5/6 enerji çıkıyor eşit olarak yüklenmiş top [denklem (8.7)].

Elektrostatik enerji kavramının nasıl uygulandığını görelim. İki soruyu ele alalım. Kapasitörün plakaları arasına etki eden kuvvet nedir? Yüklü bir iletken, zıt yüklü başka bir iletkenin varlığında belirli bir eksen etrafında hangi dönme (tork) momentini yaşar? Bu tür soruları, bir kapasitörün elektrostatik enerjisi ve sanal iş ilkesi için ifademiz (8.9) kullanılarak yanıtlamak kolaydır (bkz. konu 1, bölüm 4, 13 ve 14).

Düz plakalı bir kapasitörün iki plakası arasına etki eden kuvveti belirlemek için bu yöntemi uygulayalım. Plakalar arasındaki boşluğun küçük bir miktar Dz kadar genişlediğini hayal edersek, plakaları birbirinden ayırmak için dışarıdan yapılan mekanik iş şuna eşit olacaktır:

Nerede F- Plakalar arasında etki eden kuvvet. Bu iş, kapasitörün yükü değişmediği sürece, kapasitörün elektrostatik enerjisindeki değişime eşit olmalıdır.

Denklem (8.9)'a göre, kapasitörün enerjisi başlangıçta şuna eşitti:

Enerjideki değişim (eğer yükün büyüklüğünde bir değişikliğe izin vermezsek) o zaman şuna eşittir:

(8.12) ve (8.13)'ü eşitleyerek şunu elde ederiz:

şu şekilde de yazılabilir:

Açıkçası, buradaki kuvvet, yüklerin plakalar üzerindeki çekiminden kaynaklanmaktadır; ancak bunların orada nasıl dağıldığı konusunda endişelenecek bir şeyimiz olmadığını görüyoruz; İhtiyacımız olan tek şey kapasiteyi hesaba katmak İLE.

Bu fikrin serbest biçimli iletkenlere ve diğer kuvvet bileşenlerine nasıl genelleştirileceğini görmek kolaydır. (8.14) denkleminde yerine koyalım F bizi ilgilendiren bileşen ve Dz karşılık gelen yönde küçük bir yer değiştirmedir. Veya bir eksene monte edilmiş bir elektrotumuz varsa ve t torkunu bilmek istiyorsak, sanal işi şu şekilde yazacağız:

burada Dq küçük bir açısal rotasyondur. Tabii ki şimdi değişim D(1/C) olmalı 1/C, Dq üzerindeki dönmeye karşılık gelir.

İncir. 8.3. Değişken kapasitöre etki eden tork nedir?

Bu şekilde, Şekil 2'de gösterilen değişken kapasitörün hareketli plakalarına etki eden torku belirleyebiliriz. 8.3.

Paralel plakalı kapasitörün özel durumuna dönelim; Bölüm 2'de türetilen kapasite formülünü alabiliriz. 6:

Nerede A- her kapağın alanı. Aralık Dz kadar artarsa, o zaman

(8.14)'ten iki plaka arasındaki çekim kuvvetinin şuna eşit olduğu sonucu çıkar:

Denklem (8.17)'ye daha yakından bakalım ve bu kuvvetin nasıl ortaya çıktığını söyleyebilecek miyiz görelim. Yükü formdaki plakalardan birine yazarsak

(8.17) şu şekilde yeniden yazılabilir:

Veya plakalar arasındaki alan eşit olduğundan

Plakalardan birine etki eden kuvvetin yüke eşit olacağı hemen tahmin edilebilir. Q Bu plakanın yüke etki eden alanla çarpılması. Ama şaşırtıcı olan 1/2 faktörüdür. Gerçek şu ki e 0 - burası alan değil hangisine göre hareket eder suçlamalar. Plakanın yüzeyindeki yükün ince bir katman kapladığını hayal edersek (Şekil 8.4), o zaman alan katmanın iç sınırında sıfırdan sıfıra değişecektir. e 0 plakaların dışındaki boşlukta. Yüzey yüklerine etki eden ortalama alan şuna eşittir: e 0 /2. Bu nedenle (8.18)'de 1/2 çarpanı vardır.

Sanal işi hesaplarken, kapasitörün yükünün sabit olduğunu, kapasitörün diğer nesnelere elektriksel olarak bağlı olmadığını ve toplam yükün değişemeyeceğini varsaydığımızı belirtmelisiniz.

İncir. 8.4. İletkenin yüzeyindeki alan sıfırdan E'ye değişir 0 =s/e 0 , yüzey yük katmanı geçildiğinde. 1 - iletken plaka; 2 - yüzey yükü katmanı.

Şimdi sanal yer değiştirmeler sırasında kapasitörün sabit bir potansiyel farkında tutulduğunu varsayalım. O zaman almak zorunda kalacağız

ve (8.15) yerine

bu da denklem (8.15)'te elde edilene eşit büyüklükte bir kuvvete yol açar (çünkü V = Q/C), ama tam tersi işaretle!

Elbette kondansatörün plakaları arasına etki eden kuvvet, kondansatörü elektrik kaynağından ayırdığımızda işaretini değiştirmez. Ayrıca zıt elektrik yüklü iki levhanın birbirini çekmesi gerektiğini de biliyoruz. İkinci durumda sanal iş prensibi yanlış uygulandı, kapasitörü şarj eden kaynağın ürettiği sanal işi hesaba katmadık. Bu, potansiyeli sabit bir değerde tutmak için anlamına gelir. V, kapasitans değiştiğinde, elektrik kaynağının kapasitöre bir VDC şarjı sağlaması gerekir. Ancak bu yük V potansiyelinde sağlanır, dolayısıyla yükü sabit tutan elektrik sisteminin yaptığı iş V 2 DC'dir. Mekanik iş.FDz artı bu V 2 DC elektrik işi birlikte kapasitörün toplam enerjisinde 1/2 V 2 DC oranında bir değişikliğe neden olur. Bu nedenle, daha önce olduğu gibi mekanik iş gerektirir F D z=- 1 / 2 V2DC.

§ 3. İyonik bir kristalin elektrostatik enerjisi

Şimdi elektrostatik enerji kavramının atom fiziğindeki uygulamasını ele alalım. Atomlar arasında etki eden kuvvetleri kolayca ölçemeyiz, ancak genellikle atomların iki dizilişinin enerjileri arasındaki farkla ilgileniriz (örneğin, kimyasal değişimlerin enerjisi). Atomik kuvvetler temelde elektriksel kuvvetler olduğundan, kimyasal enerjinin ana kısmı basitçe elektrostatik enerjidir.

Örneğin iyonik bir kafesin elektrostatik enerjisini düşünün. NaCl gibi bir iyonik kristal, sert küreler olarak kabul edilebilecek pozitif ve negatif iyonlardan oluşur. Dokunana kadar elektriksel olarak çekilirler; sonra itici güç devreye giriyor ve onları birbirine yaklaştırmaya çalıştığımızda hızla artıyor.

İlk yaklaşım için, bir tuz kristalindeki atomları temsil eden sert kürelerden oluşan bir koleksiyon hayal edelim. Böyle bir kafesin yapısı X-ışını kırınımı kullanılarak belirlendi. Bu kafes kübiktir; üç boyutlu bir satranç tahtasına benzer. Kesiti Şekil 2'de gösterilmektedir. 8.5. İyonlar arasındaki boşluk 2,81 E'dir (veya 2,81·10 -8 santimetre).

Sistem fikrimiz doğruysa şu soruyu sorarak test edebilmeliyiz: Bu iyonları dağıtmak, yani kristali tamamen iyonlara ayırmak için ne kadar enerji gerekir? Bu enerji, tuzun buharlaşma ısısı artı molekülleri iyonlara ayırmak için gereken enerjiye eşit olmalıdır. NaCl'nin iyonlara ayrılmasının toplam enerjisi, deneyden aşağıdaki gibi 7,92'dir. ev molekül başına.

İncir. 8.5. Birkaç atom ölçeğinde bir tuz kristalinin kesiti.

İki dik olarakİle kesit modelinin düzlemi iyonların aynı kademeli düzenine sahip olacaktır Hayır Ve Cl (bkz. sayı 1, şekil 1.7).

Dönüşüm faktörünü kullanma

ve Avogadro sayısı (bir gram moleküldeki molekül sayısı)

buharlaşma enerjisi şu şekilde temsil edilebilir:

Fiziksel kimyagerlerin en sevdiği enerji birimi 4190'a eşit olan kilokaloridir. J; số 1 ev molekül başına - 23 ile aynı kcal/mol. Bu nedenle bir kimyager, NaCl'nin ayrışma enerjisinin şöyle olduğunu söyleyecektir:

Bu kimyasal enerjiyi teorik olarak bir kristali parçalamak için ne kadar iş gerektiğini hesaplayarak elde edebilir miyiz? Teorimize göre tüm iyon çiftlerinin potansiyel enerjilerinin toplamına eşittir. Bu enerji hakkında fikir edinmenin en kolay yolu, bir iyon seçip onun potansiyel enerjisini diğer tüm iyonlara göre hesaplamaktır. Bu verecek iki katına çıktı iyon başına enerji, çünkü enerji aittir çiftler suçlamalar. Belirli bir iyonla ilişkili enerjiye ihtiyacımız varsa, o zaman toplamın yarısını almalıyız. Ama asıl ihtiyacımız olan şey enerji molekül başına, iki iyon içeriyor, yani hesapladığımız toplam bize doğrudan molekül başına enerjiyi verecektir.

Bir iyonun en yakın komşusuna göre enerjisi -e 2 /a'dır, burada e 2 =q 2 e/4pe 0 ve A- iyonların merkezleri arasındaki boşluk. (Tek değerlikli iyonları ele alıyoruz.) Bu enerji -5,12'dir. ev; Cevabın doğru büyüklükte olduğunu zaten görebiliyoruz. Ama yine de sonsuz sayıda terim saymamız gerekiyor.

Düz bir çizgide yer alan tüm iyonların enerjilerini toplayarak başlayalım. Şekil 2'de işaretlenen iyon dikkate alındığında; Şekil 8.5'te vurgulanan iyonumuz olan Na simgesiyle, öncelikle kendisiyle aynı yatay çizgi üzerinde bulunan iyonları ele alıyoruz. Ona en yakın negatif yüklü iki klor iyonu vardır ve her biri Na'dan I uzaktadır. Daha sonra 2a vb. uzaklıkta iki pozitif iyon vardır. Bu enerji toplamını U 1 olarak gösteririz. , Hadi yaz

Seri yavaş yakınsadığından sayısal olarak tahmin etmek zordur.

ancak ln2'ye eşit olduğu biliniyor. Araç,

Şimdi üst tarafa bitişik en yakın çizgiye geçelim. En yakın iyon negatiftir ve uzaktadır A. Sonra Ts2a mesafelerinde iki pozitif var. Bir sonraki çift Ts5a mesafesinde, bir sonraki çift Ts10a'da vb. Tüm çizgi için bir satır elde edilir

Bu tür çizgiler dört:üstünde, altında, önünde ve arkasında. Sonra çapraz olarak en yakın dört çizgi vardır ve bu böyle devam eder.

Tüm satırların hesaplarını sabırla yapıp hepsini toplarsanız sonucun şöyle olduğunu göreceksiniz:

Bu sayı, ilk satır için (8.20)'de elde edilenden biraz daha büyüktür. Hesaba katıldığında e 2 /a=- 5,12 ev, alacağız

Cevabımız deneysel olarak gözlemlenen enerjiden yaklaşık %10 daha fazladır. Bu, tüm kafesin elektrik Coulomb kuvvetleri tarafından bir arada tutulduğu fikrinin temelde doğru olduğunu gösteriyor. İlk kez atom fiziği bilgimizden makroskobik maddenin belirli bir özelliğini elde ettik. Zamanla çok daha fazlasını başaracağız. Büyük madde kütlelerinin davranışını atomik davranış yasalarına göre anlamaya çalışan bilim alanına ne ad verilir? katı hal fiziği.

Peki ya hesaplamalarımızdaki hata? Neden tamamen doğru değiller? Yakın mesafelerdeki iyonlar arasındaki itmeyi hesaba katmadık. Bunlar tamamen katı küreler değil, dolayısıyla yaklaştıkça biraz düzleşiyorlar. Ancak çok yumuşak değiller ve biraz düzleşiyorlar. Yine de bu deformasyon için bir miktar enerji harcanır ve iyonlar birbirinden uzaklaştığında bu enerji açığa çıkar. İyonların tamamını birbirinden uzaklaştırmak için gereken enerji aslında hesapladığımızdan biraz daha azdır; itme, elektrostatik çekimin üstesinden gelmeye yardımcı olur.

Bu tiksintinin payını bir şekilde tahmin etmek mümkün mü? Evet, eğer itici kuvvet yasasını biliyorsak. İtme mekanizmasının ayrıntılarını henüz analiz edemiyoruz ancak makroskobik ölçümlerden özellikleri hakkında fikir sahibi olabiliyoruz. Ölçme sıkıştırılabilme Bir bütün olarak kristal, iyonlar arasındaki itme yasası ve dolayısıyla enerjiye katkısı hakkında niceliksel bir fikir elde edilebilir. Böylece bu katkının elektrostatik çekimin katkısının 1/9,4'ü olması gerektiği ve doğal olarak ters işarete sahip olması gerektiği keşfedildi. Bu katkıyı tamamen elektrostatik enerjiden çıkarırsak, molekül başına ayrışma enerjisi için 7,99 sayısını elde ederiz. ev. Bu, gözlemlenen 7,92 sonucuna çok daha yakın. ev, ama yine de tam bir uyum içinde değil. Hesaba katmadığımız bir şey daha var: Kristalin titreşimlerinin kinetik enerjisi hakkında herhangi bir varsayımda bulunmadık. Bu etkiyi düzeltirsek deneysel değerle çok iyi bir uyum hemen ortaya çıkacaktır. Bu, fikirlerimizin doğru olduğu anlamına gelir: NaCl gibi bir kristalin enerjisine ana katkı elektrostatiktir.

§ 4. Çekirdeğin elektrostatik enerjisi

Şimdi atom fiziğindeki elektrostatik enerjinin başka bir örneğine, atom çekirdeğinin elektrostatik enerjisine dönelim. Bu konuyu ele almadan önce, çekirdekteki protonları ve nötronları bir arada tutan temel kuvvetlerin (nükleer kuvvetler adı verilen) bazı özelliklerini göz önünde bulundurmalıyız. İlk başta, çekirdeklerin (ve protonların ve onları oluşturan nötronların) keşfinden sonra, örneğin bir proton ile diğeri arasında etki eden kuvvetin güçlü, elektriksel olmayan kısmı yasasının basit bir formüle sahip olacağını umdular. elektrikteki ters kareler kanununa benzer bir formdadır. Bu kuvvetler yasasını ve buna ek olarak bir proton ile bir nötron arasında ve bir nötron ile bir nötron arasında etki eden kuvvetleri belirlemek mümkün olsaydı, o zaman bu parçacıkların çekirdeklerdeki tüm davranışını teorik olarak tanımlamak mümkün olurdu. Bu nedenle büyük bir program, aralarında etki eden kuvvetlerin yasasını bulma umuduyla protonların saçılımını incelemeye başladı; ancak otuz yıllık çabanın ardından basit bir şey ortaya çıkmadı. Proton ve proton arasında etki eden kuvvetler hakkında hatırı sayılır miktarda bilgi birikmiştir, ancak bu kuvvetlerin hayal edilemeyecek kadar karmaşık olduğu keşfedilmiştir.

"Mümkün olduğu kadar karmaşık" derken, kuvvetlerin bağlı olabileceği tüm niceliklere bağlı olduğunu kastediyoruz.

Birincisi, kuvvet protonlar arasındaki mesafenin basit bir fonksiyonu değildir. Büyük mesafelerde çekim vardır, küçük mesafelerde ise itme vardır.

İncir. 8.6. İki proton arasındaki etkileşimin gücü akla gelebilecek her parametreye bağlıdır.

Mesafe bağımlılığı hala çok iyi bilinmeyen karmaşık bir fonksiyondur. İkincisi, kuvvet proton spininin yönüne bağlıdır. Protonların dönüşü vardır ve etkileşen iki proton aynı veya zıt yönlerde dönebilir. Ve dönüşler paralel olduğunda oluşan kuvvet, dönüşler antiparalel olduğunda meydana gelen kuvvetten farklıdır (Şekil 8.6, A Ve B). Aradaki fark büyüktür; ihmal edilemez.

Üçüncüsü, kuvvet, bağlı olarak gözle görülür biçimde değişir. paralel ya spinlerindeki protonlar arasında boşluk yoktur (Şekil 8.6, c ve d) ya da dik(Şekil 8.6, A Ve B).

Dördüncüsü, kuvvet, manyetizmada olduğu gibi, protonların hızına bağlıdır (ve çok daha güçlü bir şekilde). Ve kuvvetin bu hız bağımlılığı hiçbir şekilde göreceli bir etki değildir; hızı ışık hızından çok daha az olsa bile büyüktür. Üstelik kuvvetin bu kısmı, hızın büyüklüğünün yanı sıra başka şeylere de bağlıdır. Örneğin, bir proton başka bir protona yaklaştığında, yörünge hareketinin dönüş yönü ile çakışıp çakışmadığına bağlı olarak kuvvet değişir (Şekil 8.6, D), veya bu iki yön zıttır (Şekil 8.6, e). Bu, kuvvetin "dönme-yörünge" kısmı olarak adlandırılan şeydir.

Bir proton ile bir nötron ve bir nötron ile bir nötron arasındaki etkileşim kuvvetleri daha az karmaşık değildir. Bugüne kadar bu kuvvetleri belirleyen mekanizmayı bilmiyoruz, bunları anlamanın basit bir yolunu bilmiyoruz.

Ancak önemli bir açıdan nükleer kuvvetler hâlâ Daha kolay, ne olabilirlerdi. Nükleer iki nötron arasında etki eden kuvvetler, bir proton ile bir nötron arasında etki eden kuvvetlerle ve iki proton arasında etki eden kuvvetlerle aynıdır! Çekirdeklerin bulunduğu bir sistemde nötronu bir protonla değiştirirsek (veya tersi), o zaman nükleer etkileşimler değişmeyecek! Bu eşitliğin "temel nedeni" bizim tarafımızdan bilinmemektedir, ancak bu, n-mezonlar ve "garip" parçacıklar gibi güçlü bir şekilde etkileşen diğer parçacıkların etkileşim yasalarına genişletilebilecek önemli bir ilkenin bir tezahürüdür.

Bu gerçek, benzer çekirdeklerdeki enerji seviyelerinin düzenlenmesiyle mükemmel bir şekilde gösterilmektedir.

İncir. 8.7. B çekirdeğinin enerji seviyeleri 11 ve C 11 (MeV cinsinden enerji). Temel durum C 11 Aynı durum B'den 1,982 MeV daha yüksek 11 .

Beş proton ve altı nötrondan oluşan B 11 (bor-onbir) gibi bir çekirdeği düşünün. Çekirdekte bu on bir parçacık birbirleriyle etkileşime girerek bir tür karmaşık dans sergiliyor. Ancak mümkün olan tüm etkileşimlerin mümkün olan en düşük enerjiye sahip bir kombinasyonu vardır; bu çekirdeğin normal durumudur ve denir ana Eğer çekirdek rahatsız edilirse (örneğin ona yüksek enerjili bir proton veya başka bir parçacık çarparak), o zaman herhangi bir sayıda başka konfigürasyona girebilir. heyecanlı durumlar, her biri temel durumun enerjisinden daha yüksek olan kendi karakteristik enerjisine sahip olacaktır. Van de Graaff jeneratörü ile yürütülen nükleer fizik araştırmalarında, bu uyarılmış durumların enerjileri ve diğer özellikleri deneysel olarak belirlenir. B11'in bilinen en düşük on beş uyarılmış durumunun enerjileri, Şekil 2'nin sol yarısındaki tek boyutlu diyagramda gösterilmektedir. 8.7. Aşağıdaki yatay çizgi temel durumu temsil eder. İlk uyarılmış durumun enerjisi 2,14'tür. Mev ana olandan daha yüksek, bir sonraki 4,46 Mev ana seviyeden daha yüksek vb. Araştırmacılar, enerji seviyelerine ilişkin bu oldukça kafa karıştırıcı tabloya bir açıklama bulmaya çalışıyorlar; Ancak şu ana kadar bu tür nükleer enerji seviyelerine ilişkin tam bir genel teori mevcut değil.

B 11'de nötronlardan birinin bir proton ile değiştirilmesi durumunda, karbon izotopu C 11'in çekirdeği elde edilir. C11 çekirdeğinin en düşük on altı uyarılmış durumunun enerjileri de ölçüldü; Şekil 2'de gösterilmektedirler. Sağda 8.7. (Deneysel bilginin söz konusu olduğu seviyeler tire ile gösterilmiştir.)

ŞEKİL 2'ye bakıldığında. Şekil 8.7'de her iki çekirdeğin enerji seviyesi modelleri arasında çarpıcı bir benzerlik görüyoruz. İlk uyarılmış durumlar yaklaşık olarak 2. Mev ana olanın üstünde. Sonra 2,3 genişliğinde geniş bir boşluk var Maev, ikinci uyarılmış durumu birinciden ayırmak, ardından 0,5'lik küçük bir sıçrama Mevüçüncü seviyeye kadar. Sonra yine dördüncü seviyeden beşinci seviyeye büyük bir sıçrama var, ancak beşinci ve altıncı seviye arasında 0,1'lik dar bir fark var. Mev. Ve benzeri. Yaklaşık onuncu seviyede yazışma kayboluyor gibi görünüyor, ancak seviyeleri diğer özelliklerle, örneğin açısal momentumlarıyla ve fazla enerjilerini kaybetme biçimleriyle etiketlersek, yine de tespit edilebilir.

B 11 ve C 11 çekirdeklerinin enerji seviyeleri arasındaki etkileyici benzerlik kesinlikle bir tesadüf değildir. Arkasında bazı fiziksel kanunları gizliyor. Gerçekten de, zor nükleer koşullarda bile bir nötronun protonla değiştirilmesinin çok az değişiklik yaratacağını gösteriyor. Bu yalnızca nötron-nötron ve proton-proton kuvvetlerinin hemen hemen aynı olması gerektiği anlamına gelebilir. Ancak o zaman beş proton ve altı nötrondan oluşan nükleer konfigürasyonların beş-nötron-altı-proton kombinasyonuna uymasını beklerdik.

Bu çekirdeklerin özelliklerinin bize nötron-proton kuvvetleri hakkında hiçbir şey söylemediğine dikkat edin; her iki çekirdekteki nötron-proton kombinasyonlarının sayısı aynıdır. Ancak altı protonu ve sekiz nötronu olan C 14 ile her ikisinden de yedi tane bulunan N 14 gibi diğer iki çekirdeği karşılaştırırsak, enerji seviyelerinde aynı uyumu ortaya çıkaracağız. Sonuç olarak denebilir ki p-p-, n-n- Ve R-n-kuvvetler tüm detaylarda birbiriyle örtüşür. Nükleer kuvvetler yasalarında beklenmedik bir ilke ortaya çıktı. Her ne kadar nükleer parçacık çiftleri arasında etki eden kuvvetler çok karmaşık olsa da, akla gelebilecek üç çiftin herhangi biri için etkileşim kuvvetleri aynıdır.

Ancak bazı ufak farklılıklar vardır. Seviyeler arasında tam bir örtüşme yoktur; ayrıca C 11'in temel durumunun mutlak enerjisi (kütlesi) 1,982'dir. Mev temel durumun üstünde B 11. Diğer tüm seviyelerin mutlak enerjileri de aynı sayıda daha yüksektir. Yani kuvvetler tam olarak eşit değildir. Ama bunu zaten çok iyi biliyoruz tam dolu, kuvvetlerin büyüklüğü tam olarak aynı değildir; iki proton arasında hareket etmek elektrik kuvvetler, çünkü her biri pozitif yüklüdür, ancak nötronlar arasında böyle bir kuvvet yoktur. Belki de B 11 ve C 11 arasındaki fark, bu iki durumda protonların elektriksel etkileşimlerinin farklı olmasıyla açıklanabilir? Veya belki de seviyelerde kalan minimum fark elektriksel etkilerden kaynaklanmaktadır? Nükleer kuvvetler elektriksel kuvvetlerle karşılaştırıldığında çok güçlü olduğundan, elektriksel etkiler enerji düzeylerini çok az bozabilir.

Bu fikri test etmek veya daha iyisi hangi sonuçlara yol açacağını bulmak için öncelikle her iki çekirdeğin temel durum enerjileri arasındaki farkı ele alıyoruz. Modeli çok basit hale getirmek için, çekirdeklerin Z protonları içeren r yarıçaplı (belirlenmesi gereken) toplar olduğunu varsayalım. Çekirdeğin yükü düzgün dağılmış bir top olduğunu düşünürsek, elektrostatik enerjinin [denklem (8.7)'den] eşit olmasını bekleyebiliriz:

Nerede Q e - Bir protonun temel yükü. Z'nin B 11 için beşe ve C 11 için altıya eşit olması nedeniyle elektrostatik enerjiler farklı olacaktır.

Ancak bu kadar az sayıda protonla denklem (8.22) tamamen doğru değildir. Top üzerinde yaklaşık olarak düzgün dağılmış noktalar olarak kabul edilen tüm proton çiftlerinin etkileşiminin elektrik enerjisini hesaplarsak, (8.22)'deki Z2 değerinin şu şekilde değiştirilmesi gerektiğini göreceğiz: Z(Z- 1), yani enerji eşit olacaktır

Eğer çekirdeğin r yarıçapı biliniyorsa, B 11 ve C 11 çekirdeklerinin elektrostatik enerjilerindeki farkı belirlemek için (8.23) ifadesini kullanabiliriz. Ancak tam tersini yapalım: enerjilerde gözlemlenen farktan, mevcut farkın tamamının elektrostatik kökenli olduğunu varsayarak yarıçapı hesaplarız. Genel olarak bu tamamen doğru değil. Enerji farkı 1.982 Mev iki ana durum B 11 ve C 11, dinlenme enerjilerini, yani enerjileri içerir. TC 2 tüm parçacıklar. B 11'den C 11'e geçerek nötronun yerine kütlesi biraz daha küçük olan bir proton koyuyoruz. Yani enerji farkının bir kısmı nötron ve protonun geri kalan kütleleri arasındaki farktır, yani 0,784 Mev. Bu nedenle elektrostatik enerjiyle karşılaştırılması gereken fark 1,982'den büyüktür. Mev; eşit

Bu enerjiyi (8.23)'te yerine koyarsak, B 11 veya C 11 yarıçapı için şunu elde ederiz:

Bu sayının bir anlamı var mı? Bunu kontrol etmek için, bunu bu çekirdeklerin yarıçaplarının diğer tanımlarıyla karşılaştıralım.

Örneğin çekirdeğin yarıçapını, hızlı parçacıkları nasıl saçtığını gözlemleyerek farklı şekilde belirleyebilirsiniz. Bu ölçümler sırasında ortaya çıktı ki yoğunluk tüm çekirdeklerdeki madde yaklaşık olarak aynıdır, yani hacimleri içerdikleri parçacık sayısıyla orantılıdır. Eğer bittiyse Açekirdekteki proton ve nötronların sayısını (kütlesiyle çok yakından orantılı bir sayı) belirlerseniz, çekirdeğin yarıçapının şu şekilde verildiği ortaya çıkar:

Bu ölçümlerden, B 11 çekirdeğinin (veya C 1 1) yarıçapının yaklaşık olarak eşit olması gerektiğini elde ederiz.

Bunu (8.24) ifadesiyle karşılaştırdığımızda, B 11 ve C 11'in enerjilerindeki farkın elektrostatik kökeni hakkındaki varsayımlarımızın o kadar da yanlış olmadığını göreceğiz; tutarsızlık ancak %15'e ulaşıyor (ve nükleer teoriye göre ilk hesaplama için bu o kadar da kötü değil!).

Farklılığın nedeni büyük ihtimalle şudur. Çekirdeklere ilişkin mevcut anlayışımıza göre, çift sayıdaki nükleer parçacıklar (B 11 durumunda, beş protonlu beş nötron) bir çeşit nükleer parçacık oluşturur. kabuk; Bu kabuğa başka bir parçacık eklendiğinde emilmek yerine kabuğun etrafında yörüngeye dönmeye başlar. Eğer durum böyleyse, ilave proton için farklı bir elektrostatik enerji değeri almanız gerekir. C 11'in B 11 üzerindeki fazla enerjisinin tam olarak şuna eşit olduğunu varsaymalıyız:

yani başka bir protonun kabuğun dışında görünmesi için gereken enerjiye eşittir. Bu sayı, (8.23) denkleminin öngördüğü değerin 5/6'sıdır, dolayısıyla yarıçapın yeni değeri (8.24)'ün 5/6'sına eşit olacaktır. Doğrudan ölçümlerle çok daha iyi uyum sağlar.

Sayılardaki anlaşma iki sonuca yol açıyor. Birinci: elektrik kanunları görünüşe göre 10 -1 3 gibi küçük mesafelerde işliyor ikinciye bakın: Dikkate değer bir tesadüf olduğuna inanıyoruz - protonun protonla, nötronun nötronla ve protonun nötronla etkileşim kuvvetlerinin elektriksel olmayan kısmı aynıdır.

§ 5. Elektrostatik alandaki enerji

Şimdi elektrostatik enerjiyi hesaplamanın diğer yollarını ele alalım. Bunların hepsi, her bir yük çiftinin ortak enerjilerinin (tüm çiftler üzerinden) toplanmasıyla ana ilişkiden (8.3) elde edilebilir. Öncelikle yük dağılım enerjisi için bir ifade yazmak istiyoruz. Her zamanki gibi her hacim öğesinin dV bir yük elemanı içerir p.d.v. Bu durumda denklem (8.3) aşağıdaki gibi yazılacaktır:

1/2 faktörünün görünümüne dikkat edin. Çift katlı integralde olması nedeniyle ortaya çıktı dV 1 ve tarafından dV 2 her yük elemanı çifti iki kez sayıldı. (Her çiftin yalnızca bir kez sayıldığı integral için uygun bir gösterim yoktur.) O zaman (8.27)'deki dV 2 üzerindeki integralin basitçe (1) noktasındaki potansiyel olduğuna dikkat edin.

yani (8.27) şu şekilde yazılabilir:

Ve (2) numaralı nokta dışarıda kaldığından beri, basitçe şunu yazabiliriz:

Bu denklem şu şekilde yorumlanabilir. Potansiyel şarj enerjisi rdV bu yük ile aynı noktadaki potansiyelin çarpımına eşittir. Bu nedenle tüm enerji jrdV'nin integraline eşittir. Ama bunun yanında 1/2 faktörü de var. Enerjiler iki kez sayıldığı için hala gereklidir. Bu noktada iki yükün ortak enerjisi, birinin diğerinin potansiyeli üzerindeki yüküne eşittir. Veya diğerinin ikinci noktada birincinin potansiyeline yükü. Yani iki puanlık ücretler için şunu yazabiliriz:

Bunun şu şekilde de yazılabileceğini lütfen unutmayın:

(8.28)'deki integral, (8.29) ifadesinin parantezlerindeki her iki terimin eklenmesine karşılık gelir. Bu yüzden 1/2 çarpanına ihtiyaç var.

Bir başka ilginç soru da şudur: Elektrostatik enerji nerede bulunur? Doğru, yanıt olarak şu soru sorulabilir: Gerçekten önemli mi?

Böyle bir soru mantıklı mı? Etkileşen bir çift yük varsa, bunların kombinasyonunun bir miktar enerjisi vardır. Enerjinin bu yük üzerinde mi yoksa bu yük üzerinde mi, aynı anda her ikisinde mi yoksa ikisinin arasında mı yoğunlaştığını açıklığa kavuşturmak gerçekten gerekli mi? Bütün bu soruların hiçbir anlamı yok çünkü aslında sadece toplam enerjinin korunduğunu biliyoruz. Enerjinin yoğunlaştığı fikri bir yerde, gerçekten gerekli değil.

Peki, yine de enerjinin her zaman belirli bir yerde (termal enerji gibi) yoğunlaştığını varsayalım. bir anlamı var. Daha sonra enerjinin korunumu prensibimizi uygulayabilirdik. genişletmek, Bunu, belirli bir hacimde enerji değişirse bu değişimin, hacimden enerji girişi veya çıkışı gözlemlenerek dikkate alınabileceği fikriyle ilişkilendiriyoruz. Enerjinin bir kısmı bir yerde kaybolup uzak bir yerde başka bir yerde ortaya çıkarsa ve bu yerler arasında hiçbir şey olmazsa (hiçbir şey - bu hiçbir özel olgunun meydana gelmeyeceği anlamına gelir), enerjinin korunumu hakkındaki orijinal ifademizin yine de tamamen doğru olacağını anlıyorsunuz. . Bu nedenle artık enerjinin korunumuna ilişkin fikirlerimizi genişletmeye devam edebiliriz. Bu uzantıya prensip diyelim yerel(yerel) enerji tasarrufu. Böyle bir prensip, herhangi bir hacim içindeki enerjinin, yalnızca hacmin içine (veya dışına) enerji akışına (veya kaybına) eşit bir miktarda değiştiğini beyan eder. Gerçekten de, böyle bir yerel enerji tasarrufu oldukça mümkündür. Eğer durum böyleyse, toplam enerjinin korunumuna ilişkin basit bir açıklamadan çok daha ayrıntılı bir yasa elimizde olacaktır. Ve ortaya çıktığı gibi, doğada enerji gerçekten yerel olarak, her yerde ayrı ayrı depolanıyor, Enerjinin nerede yoğunlaştığını ve bir yerden bir yere nasıl aktığını gösteren formüller yazılabilir.

Ayrıca birde şu var fiziksel Enerjinin tam olarak nerede bulunduğunu gösterebilmemizi talep etmek için bir neden var. Yerçekimi teorisine göre her kütle, yerçekimsel çekimin kaynağıdır. Ve yasaya göre E=ts 2 kütle ile enerjinin birbirine oldukça eşdeğer olduğunu da biliyoruz. Bu nedenle, tüm enerji yerçekimi kuvvetinin kaynağıdır. Ve eğer enerjinin nerede olduğunu bilemezsek, kütlenin nerede olduğunu da bilemezdik. Yerçekimi alanının kaynaklarının nerede olduğunu söyleyemedik. Ve yerçekimi teorisi eksik kalacaktı.

Elbette kendimizi elektrostatikle sınırlandırırsak enerjinin nerede yoğunlaştığını bilmenin hiçbir yolu yoktur. Ancak Maxwell'in elektrodinamik denklemlerinin eksiksiz sistemi bize kıyaslanamayacak kadar daha eksiksiz bilgi sağlayacaktır (her ne kadar o zaman bile, kesin konuşursak, cevap tamamen kesin olmayacaktır). Bu konuya daha sonra daha ayrıntılı olarak bakacağız. Ve şimdi sadece elektrostatiğin özel durumuyla ilgili sonucu sunuyoruz.

İncir. 8.8. Bir elektrik alanındaki her hacim elemanı dV=dxdydz enerji içerir(e 0 /2) e 2 dV.

Enerji, elektrik alanının olduğu alanda bulunur. Görünüşe göre bu oldukça mantıklı çünkü yüklerin hızlandıkça elektrik alanları yaydığı biliniyor. Işık veya radyo dalgaları bir noktadan diğerine giderken enerjilerini de yanlarında taşırlar. Ancak bu dalgaların hiçbir yükü yoktur. Bu yüzden enerjiyi, bu alanı yaratan yüklerin olduğu yere değil, elektromanyetik alanın olduğu yere yerleştirmek istiyorum. Böylece enerjiyi yüklerin diliyle değil, oluşturdukları alanların diliyle tanımlıyoruz. Aslında (8.28) denklemini gösterebiliriz. sayısal olarak ile çakışıyor

Bu formül, uzayda elektrik alanının bulunduğu yerde enerjinin yoğunlaştığı şeklinde yorumlanabilir; yoğunluk ee (birim hacim başına enerji miktarı) eşittir

Bu fikir Şekil 2'de gösterilmektedir. 8.8.

Denklemin (8.30) elektrostatik yasalarımızla tutarlı olduğunu göstermek için, r ve j arasında Bölüm'de elde edilen ilişkiyi denklem (8.28)'e dahil ederek başlıyoruz. 6:

İntegral ifadesini bileşen bazında yazdıktan sonra,

bunu göreceğiz

Ve enerji integralimiz o zaman eşittir

Gauss teoremini kullanarak ikinci integral bir yüzey integraline dönüştürülebilir:

Bu integrali yüzeyin sonsuza kadar uzandığı (böylece hacim üzerindeki integral tüm uzayın integrali haline gelecek şekilde) ve tüm yüklerin birbirinden sonlu bir uzaklıkta yer aldığı durum için hesaplayacağız. Bunu yapmanın en kolay yolu, merkezi orijinde olacak şekilde büyük yarıçaplı bir kürenin yüzeyini almaktır. Tüm yüklerden ziyade j'nin 1/R olarak değiştiğini ve Сj'nin de şu şekilde değiştiğini biliyoruz: 1/R 2 . (Toplam yük sıfırsa daha da hızlıdır.) Büyük bir kürenin yüzey alanı yalnızca R2 arttıkça artar, dolayısıyla kürenin yarıçapı arttıkça yüzey üzerindeki integral azalır.

(1/R)(1/R2)/R2 = (1/R). Yani, eğer integralimiz tüm uzayı kapsıyorsa (R® Ґ), o zaman yüzey integrali yok olacak ve şunu bulacağız:

Rasgele bir yük dağılımının enerjisini, alanda yoğunlaşan enerji yoğunluğunun bir integrali olarak temsil etmenin mümkün olduğunu görüyoruz.

§ 6. Bir nokta yükünün enerjisi

Yeni ilişki (8.35) bize bireysel puan ücreti için bile şunu söylüyor: Q bir çeşit elektrostatik enerji var. Bu durumda alan şu ifadeyle verilir:

yani yükten r mesafesindeki enerji yoğunluğu şuna eşittir:

Hacim elemanı olarak küresel bir kalınlık tabakası alınabilir doktor, alan 4pr 2'ye eşittir. Toplam enerji

Üst sınır r=Ґ zorluklara yol açmaz. Ancak yük bir nokta olduğu için sıfıra kadar (r=0) integral almayı düşünüyoruz, bu da integralde sonsuz anlamına geliyor. Denklem (8.35), tek bir noktasal yük alanının sonsuz miktarda enerji içerdiğini belirtir, ancak biz sadece enerjinin var olduğu fikriyle yola çıktık. arasında puan ücretleri. Bir nokta yük topluluğunun enerjisi için orijinal formumuzda (8.3), bir yükün kendisiyle etkileşimi için herhangi bir enerjiyi dahil etmedik. Sonra ne oldu? Ve denklem (8.27)'yi sürekli bir yük dağılımına aktararak, herhangi bir maddenin etkileşimini saydığımız gerçeği sonsuz küçük diğer tüm sonsuz küçük yüklerle birlikte şarj edin. Aynı hesap denklem (8.35)'te de alınmıştır, dolayısıyla onu uyguladığımızda son Noktasal yük, bu yükün sonsuz küçük parçalardan toplanması için gerekli olan enerjiyi integrale dahil ediyoruz. Aslında, yarıçapını sıfıra yönlendiren yüklü bir topun enerjisi için denklem (8.36)'dan (8.11) ifadesinden aşağıdaki sonucu da elde edebileceğimizi fark etmişsinizdir.

Enerjinin bir alanda yoğunlaştığı fikrinin nokta yüklerin varlığı varsayımıyla tutarlı olmadığı sonucuna varmak zorunda kalıyoruz. Bu zorluğun üstesinden gelmenin bir yolu, temel yüklerin (elektron gibi) aslında nokta değil, küçük yük dağılımları olduğunu söylemektir. Ancak bunun tersi de söylenebilir: Yanlışlığın kökü, çok kısa mesafelerdeki elektrik teorimizden ya da her yerde ayrı ayrı enerjinin korunumu düşüncemizden kaynaklanmaktadır. Ancak bu tür bakış açılarının her biri hala zorluklarla karşılaşıyor. Ve henüz hiçbir zaman üstesinden gelinmedi; bugün hala varlar. Biraz sonra elektromanyetik alanın darbesi gibi bazı ek kavramlarla tanıştığımızda doğayı anlamamızdaki bu temel zorluklardan daha ayrıntılı olarak bahsedeceğiz.

Mekaniğin en ilginç ve yararlı keşiflerinden biri enerjinin korunumu yasasıdır. Mekanik bir sistemin kinetik ve potansiyel enerjilerine ilişkin formülleri bildiğimizden, bu anlar arasında olup bitenlerin ayrıntılarına girmeden, zamanın iki farklı anında sistemin durumları arasındaki bağlantıyı tespit edebiliyoruz. Şimdi elektrostatik sistemlerin enerjisini belirlemek istiyoruz. Elektrikte, enerjinin korunumu birçok ilginç gerçeğin keşfedilmesinde aynı derecede yararlı olacaktır.

Elektrostatik etkileşim sırasında enerjinin değiştiği yasa çok basittir; aslında bunu zaten tartışmıştık. Yükler olsun ve bir boşlukla ayrılsın. Bu sistemin bir miktar enerjisi var çünkü yükleri bir araya getirmek biraz iş gerektiriyordu. İki yük birbirine çok uzak bir mesafeden yaklaştığında yapılan işi hesapladık; eşit

Süperpozisyon ilkesinden biliyoruz ki, eğer çok sayıda yük varsa, yüklerden herhangi birine etki eden toplam kuvvet, diğer tüm yüklere etki eden kuvvetlerin toplamına eşittir. Bundan, birkaç yükten oluşan bir sistemin toplam enerjisinin, her bir yük çiftinin ayrı ayrı etkileşimini ifade eden terimlerin toplamı olduğu sonucu çıkar. Yüklerden ikisi ve aralarındaki mesafe varsa (Şekil 8.1), bu özel çiftin enerjisi şuna eşittir:

Şekil 8.1. Parçacıklardan oluşan bir sistemin elektrostatik enerjisi, her bir çiftin elektrostatik enerjilerinin toplamıdır.

Toplam elektrostatik enerji, tüm olası yük çiftlerinin enerjilerinin toplamıdır:

(8.3)

Eğer dağılım yük yoğunluğuna göre veriliyorsa, o zaman (8.3)'teki toplamın elbette bir integralle değiştirilmesi gerekir.

Burada enerjiyi iki açıdan konuşacağız. Birincisi, enerji kavramının elektrostatik problemlere uygulanması; ikincisi ise enerji miktarını tahmin etmenin farklı yollarıdır. Bazen bazı durumlarda yapılan işi hesaplamak (8.3)'teki toplamın değerini veya karşılık gelen integralin değerini tahmin etmekten daha kolaydır. Bir örnek için, yüklerden düzgün yüklü bir top oluşturmak için gereken enerjiyi hesaplıyoruz. Buradaki enerji, sonsuzluktan gelen yükleri toplamak için harcanan işten başka bir şey değildir.

Sonsuz küçük kalınlıktaki küresel katmanları art arda üst üste koyarak bir top oluşturduğumuzu hayal edin. Sürecin her aşamasında az miktarda elektriği toplayıp ince bir tabakaya yerleştiriyoruz. Verilen yarıçapa ulaşana kadar bu işleme devam ediyoruz (Şekil 8.2). Topun yarıçapa getirildiği anda topun üzerindeki yük ise, topa yükü iletmek için gereken iş eşittir

Şekil 8.2. Düzgün yüklü bir topun enerjisi, küresel katmanların birbiri üzerine art arda katmanlanmasıyla kalıplandığı düşünülerek hesaplanabilir.

Topun içindeki yük yoğunluğu ise, yük şuna eşittir:

ve yük topun içindeki tüm nokta çiftleri üzerinde eşittir.

Yüklü bir kapasitörün enerjisi vardır. Bu enerji için bir ifade elde etmenin en kolay yolu düz bir kapasitör düşünmektir.

Paralel plakalı kapasitörün enerjisi. Eşit ve zıt işaretli yükleri taşıyan kondansatörün plakalarının önce belirli bir mesafede bulunduğunu varsayalım ve ardından zihinsel olarak plakalardan birine tamamen hizalanıncaya kadar diğer plaka yönünde hareket etme fırsatı veriyoruz, plakaların yükleri telafi edildiğinde ve kapasitör gerçekten kaybolduğunda. Aynı zamanda kapasitörün enerjisi de kaybolur, bu nedenle plakaya etki eden elektrik kuvvetinin hareket ederken gerçekleştirdiği çalışma, kapasitörün başlangıçtaki enerji rezervine tam olarak eşittir. Bu işi hesaplayalım.

Plakaya etki eden kuvvet, kendi yükünün çarpımına ve diğer plakanın yarattığı düzgün elektrik alanın yoğunluğuna eşittir. Bu yoğunluk, § 7'de gördüğümüz gibi, her iki plakanın yükleri tarafından oluşturulan kapasitör içindeki elektrik alanının toplam E yoğunluğunun yarısına eşittir. Bu nedenle gerekli iş, arasındaki voltajın nerede olduğudur.

tabaklar. Böylece, bir kapasitörün enerjisinin yükü ve voltajı cinsinden ifadesi şu şekildedir:

Kapasitörün yükü ile gerilim arasında bir ilişki olduğundan, formül (1) enerjinin ya sadece yük ya da sadece gerilim ile ifade edileceği şekilde eşdeğer bir formda yeniden yazılabilir.

Kapasitör enerjisi. Bu formül herhangi bir şekle sahip bir kapasitör için geçerlidir. Bu, bir kapasitörün şarj edilmesi, yükün küçük porsiyonlar halinde bir plakadan diğerine aktarılması için yapılması gereken iş dikkate alınarak doğrulanabilir. Bu işi hesaplarken, yükün ilk kısmının sıfır potansiyel farkla, sonuncusunun toplam potansiyel farkla aktarıldığı ve her anda potansiyel farkın halihazırda aktarılan yük ile orantılı olduğu dikkate alınmalıdır.

Yüklü bir kapasitörün enerjisi için formüller (1) veya (2), elbette, herhangi bir yüklü cisim sisteminin enerjisi için geçerli olan genel formül (12) § 4'ün özel bir durumu olarak elde edilebilir:

Yüklü bir kapasitörün enerjisi, yalnızca yüklerin etkileşiminin potansiyel enerjisi olarak değil, aynı zamanda kapasitörün plakaları arasındaki boşlukta bulunan bu yüklerin yarattığı elektrik alanının enerjisi olarak da yorumlanabilir. Basitlik açısından, elektrik alanının düzgün olduğu düz kapasitöre dönelim. Elde ettiğimiz enerji ifadesini yerine koyarsak

elektrik alanıyla dolu kapasitör plakaları arasındaki hacim nerede.

Elektrik alanı enerji yoğunluğu. Yüklü bir kapasitörün enerjisi, elektrik alanın kapladığı hacimle orantılıdır. Formül (4)'te V'nin önündeki faktörün birim hacimde bulunan enerji, yani elektrik alanının hacimsel enerji yoğunluğu anlamına geldiği açıktır:

SI'da bu formül şu şekildedir:

SGSE birim sisteminde

Hacimsel enerji yoğunluğuna ilişkin ifadeler herhangi bir elektrik alanı konfigürasyonu için geçerlidir.

Yüklü bir topun enerjisi.Örneğin, yüzeyi üzerinde yükü düzgün olarak dağılmış tek bir yarıçaplı topun enerjisini ele alalım. Böyle bir sistem, dış plakanın yarıçapı sonsuza uzanan ve kapasitans topun yarıçapına eşit bir değer alan (SGSE birim sisteminde) küresel bir kapasitörün sınırlayıcı durumu olarak düşünülebilir. Elde ettiğimiz enerji formülünü uygulayarak

Bu enerjiyi topun yarattığı alanın enerjisi olarak düşünürsek, o zaman tümünün topun içinde değil, etrafındaki alanda lokalize olduğunu varsayabiliriz, çünkü E alan kuvveti sıfırdır. Kütle yoğunluğu topun yüzeyine yakın yerlerde en büyük değere sahiptir ve ondan uzaklaştıkça çok hızlı bir şekilde azalır.

Bir nokta yükünün öz enerjisi. Dolayısıyla elektrostatik enerji, yüklerin etkileşiminin enerjisi veya bu yüklerin yarattığı alanın enerjisi olarak düşünülebilir.

Ancak iki zıt nokta yükünün enerjisi dikkate alındığında bir çelişkiye varırız. Formül (12) § 4'e göre, bu enerji negatiftir: ve bu yüklerin alanının enerjisi olarak kabul edilirse, o zaman enerji pozitif olur, çünkü alan enerji yoğunluğu orantılıdır, negatif almaz. her yerde değerler. Sorun ne burada? Bu, formül (12)'de nokta yüklerin enerjisi için yalnızca etkileşimlerinin dikkate alınması, ancak bu tür yüklerin her birinin bireysel elemanlarının birbirleriyle etkileşiminin dikkate alınmaması ile açıklanmaktadır. Gerçekten de, eğer sadece tek bir noktasal yük ile ilgileniyorsak, o zaman formül (12) ile hesaplanan enerji sıfırdır, oysa bu yükün elektrik alanının enerjisi, şuna eşit pozitif (gerçek bir noktasal yük için sonsuz) değere sahiptir: sözde içsel enerji yükü

Bunu doğrulamak için yüklü bir topun enerjisi için formül (8)'e dönelim. Eğer onu sıfıra doğru yönlendirirsek, o zaman bir nokta yüke ulaşacağız. Enerji yoğunluğu azaldıkça o kadar hızlı büyüyor ki, (8)'den görülebileceği gibi, toplam alan enerjisinin sonsuz büyüklükte olduğu ortaya çıkıyor. Klasik elektrodinamikte bir nokta yükün öz enerjisi sonsuzdur.

Keyfi bir yükün öz enerjisi, parçalarının etkileşiminin enerjisi olarak düşünülebilir. Bu enerji elbette yükün boyutuna ve şekline bağlıdır. Bir kısmı, Coulomb itici kuvvetlerinin etkisi altında yükün "parçalarının" "patlaması" ve saçılması sırasında serbest kalacak, "parçaların kinetik enerjisine dönüşecek", diğer kısmı ise kendi formunda kalacaktı. bu “parçaların” enerjisi.

Şimdi iki yükün toplamını, yani kendi ve ortak enerjisini ele alalım.Bu yüklerin her birinin sırasıyla bir alan oluşturmasına izin verin, böylece ortaya çıkan alan Hacim alan enerji yoğunluğu ifadeye uygun olarak üç terime bölünür.

Sağ taraftaki ilk iki terim, yüklerin kendi enerjilerinin hacimsel yoğunluğuna, üçüncü terim ise yüklerin birbirleriyle etkileşim enerjisine karşılık gelir. Formül (12) § 4 ile verilen, sistemin toplam enerjisinin bu kısmıdır. Açık eşitsizlikten şu sonuç çıkar: Yüklerin pozitif öz-enerjisi her zaman daha büyüktür veya aşırı durumlarda yüklerine eşittir. karşılıklı enerji Ortak enerji hem pozitif hem de negatif değerler alabilmesine rağmen toplam enerji oranı her zaman pozitiftir.

Şekillerini ve boyutlarını değiştirmeyen yüklerin tüm olası hareketlerinde yüklerin öz enerjisi sabit kalır. Dolayısıyla bu tür hareketler sırasında yükler sisteminin toplam enerjisindeki değişim, karşılıklı enerjilerindeki değişime eşittir. Tüm fiziksel olaylarda esas olan sistemin enerjisindeki değişim olduğundan, sabit kısım - yüklerin öz enerjisi - atılabilir. Bu anlamda yükler arasındaki etkileşimin enerjisi ile yarattıkları alanın enerjisinin eşdeğerliği hakkındaki ifade anlaşılmalıdır. Böylece, yük sistemini ya toplam enerjiyle (alan enerjisiyle) ya da etkileşim enerjisiyle karşılaştırabiliriz ve genel olarak konuşursak farklı değerler elde ederiz. Ancak bir sistemin bir durumdan diğerine geçişi göz önüne alındığında, enerjideki değişim için her zaman aynı değeri elde edeceğiz.

Nokta yükler ve iletkenlerden oluşan bir sistem için formül (12) § 4'ü kullanırken, görülebileceği gibi elde ettiğimizi not edelim.

formülün türetilmesinden, iletkenlerin öz enerjisi ve sistemdeki tüm yüklerin ortak potansiyel enerjisi, yani toplam alan enerjisi eksi nokta yüklerin sabit öz enerjisi.

İletkenin kendi enerjisi.İletkenlerin öz enerjisi, nokta yüklerin öz enerjisinin aksine sabit değildir. İletkenlerdeki yüklerin hareketine bağlı olarak sistem konfigürasyonu değiştiğinde değişebilir. Bu nedenle sistemin enerjisindeki değişim hesaplanırken bu enerji göz ardı edilemez.

Sistemin yalnızca iletkenlerden oluşması ve nokta yüklerin bulunmaması durumunda, formül (12) §4 sistemin toplam enerjisini, yani tüm iletkenlerin içsel enerjilerinin toplamını ve bunların etkileşiminin enerjisini verir. Alanın enerjisini veya yük sisteminin enerjisini dikkate almamıza bakılmaksızın aynı değeri elde ederiz. Böyle bir sistemin örneği, gördüğümüz gibi her iki yaklaşımın da aynı sonucu verdiği kapasitördür.

Açıkçası, nokta yüklerin ve iletkenlerin varlığında, dış kuvvetlerin çalışması bu enerjilerin toplamındaki değişimi belirlediğinden, iletkenlerin kendi enerjisini ve tüm yüklerin ortak potansiyel enerjisini ayrı ayrı dikkate almanın bir anlamı yoktur. Yalnızca nokta yüklerin sabit öz enerjisi değerlendirme dışı bırakılabilir.

Kapasitörlerde enerji dönüşümleri. Bir elektrik alanında meydana gelebilecek enerji dönüşümlerini analiz etmek için, sabit voltajlı bir kaynağa bağlı hava boşluklu düz bir kapasitör düşünün.İki durumda kapasitör plakalarını mesafeden mesafeye hareket ettireceğiz: kapasitörün daha önce bağlantısını kesmiş olmak güç kaynağından ve kapasitörün kaynakla bağlantısını kesmeden.

İlk durumda, kapasitörün plakalarındaki yük her zaman değişmeden kalır: plakalar hareket ettikçe kapasitans C ve voltaj değişse de. İlk anda kapasitördeki voltajı bildiğimizde, bu yükün değerini (SI birimlerinde) buluruz:

Bir kapasitörün zıt yüklü plakaları birbirini çektiğinden, bunları birbirinden ayırmak için pozitif mekanik iş yapılması gerekir. Ayrılırken plakalar arasındaki mesafe her zaman doğrusal boyutlarından çok daha az kalırsa, plakaların çekim kuvveti aralarındaki mesafeye bağlı değildir.

Plakayı düzgün bir şekilde hareket ettirmek için, dış kuvvetin çekim kuvvetini dengelemesi gerekir ve bu nedenle plakayı belirli bir mesafeye hareket ettirirken yapılan mekanik iş şuna eşittir:

çünkü her iki plakanın yüklerinin yarattığı sabit alan gücü nerede? (10)'daki yükü (11)'e koyarsak, şunu buluruz:

İkinci durum, plakalar hareket ettiğinde, kapasitörün yükü değil üzerindeki voltaj değişmeden kaldığı için düşünülenden farklıdır: Plakalar arasındaki mesafe arttıkça alan gücü azalır ve dolayısıyla yük azalır. plakalarda da azalır. Dolayısıyla plakaların çekim kuvveti ilk durumda olduğu gibi sabit kalmaz, azalır ve görüldüğü gibi mesafenin karesiyle ters orantılıdır. Bu değişken kuvvetin yaptığı iş, enerjinin korunumu ve dönüşümü kanunu kullanılarak hesaplanabilir.

İlk önce bunu daha basit olan ilk duruma uygulayalım. Kapasitörün enerjisindeki değişiklik yalnızca dış kuvvetlerin yaptığı mekanik iş nedeniyle meydana gelir: Kapasitörün yükü değişmeden kaldığından, kapasitörün enerjisi için formülü kullanmak uygundur.

bu, kapasite ve yük (10) yerine kullanıldığında nihai formüle (12) yol açar. Bu sonucun kapasitörün enerjisinin plakaları arasındaki elektrik alanın enerjisi olarak ele alınmasıyla da elde edilebileceğini belirtelim. Alan kuvveti ve dolayısıyla enerji yoğunluğu değişmediğinden ve alanın kapladığı hacim arttığından, enerjideki artış enerji yoğunluğu ile hacimdeki artışın çarpımına eşittir.

İkinci durumda, kapasitörün enerjisi hem mekanik çalışma hem de güç kaynağının yaptığı çalışma nedeniyle değişir:

Kapasitörün enerjisindeki değişimi ve kaynağın çalışmasını bağımsız olarak belirledikten sonra, enerjinin korunumu yasasını (13) kullanarak mekanik işi bulmak mümkündür.

Bu durumda voltaj değişmeden kaldığından, kapasitörün enerjisini hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanmak uygundur: Aldığımız enerjiyi değiştirmek için

Kondansatör plakalarındaki yük bir miktar değiştiğinde güç kaynağı çalışır.Kondansatörün yükü aşağıdaki bağıntı ile belirlenir.

ve (13) ifadesini kullanarak şunu elde ederiz:

(15) ve (14)'ten açıkça anlaşıldığına dikkat edin:

yani kaynağın işi, kapasitörün enerjisindeki değişimin iki katına eşittir.

Hem kaynağın çalışmasının hem de kapasitörün enerjisindeki değişimin negatif çıkması ilginçtir. Bu oldukça anlaşılabilir bir durumdur: Yapılan mekanik iş pozitiftir ve kapasitörün enerjisinde bir artışa yol açmalıdır (ilk durumda olduğu gibi). Ancak kapasitörün enerjisi azalır ve bu nedenle kaynağın, kapasitörün enerjisindeki azalmaya ve dış kuvvetlerin mekanik çalışmasına eşit enerjiyi "alması" gerekir. Kaynaktaki işlemler tersine çevrilebilirse (pil), o zaman şarj olur, aksi takdirde kaynak ısınır.

Olayın özünü daha iyi anlamak için, tam tersi durumu düşünün: kaynağa bağlı kapasitör plakaları, mesafeden mesafeye yaklaştırılır.Plakalar çekildiğinden, dış kuvvetlerin çalışması negatiftir, çünkü plakaların düzgün hareketi için dış kuvvetin harekete zıt yönde yönlendirilmesi gerekir. Plakalar birbirine yaklaştıkça kapasitörün enerjisi artar. Yani dış kuvvetlerin mekanik işi negatiftir ve kapasitörün enerjisi artmıştır, dolayısıyla kaynak pozitif iş yapmıştır. Bu işin yarısı kondansatörün enerjisindeki artışa eşittir, ikinci yarısı ise plakalar birbirine yaklaştığında mekanik iş şeklinde dış gövdelere aktarılır. Yukarıdaki formüllerin tümü elbette plakaların herhangi bir hareket yönü için uygulanabilir.

Tüm mantığımızda kondansatörü kaynağa bağlayan tellerin direncini ihmal ettik. Yüklerin hareketi sırasında tellerde açığa çıkan ısıyı dikkate alırsak denklem

enerji dengesi şeklini alır

Kapasitörün enerjisindeki ve kaynağın işindeki değişim elbette önceki formüller (14) ve (15) ile ifade edilir. Plakaların yakınlaşmasına veya uzaklaşmasına bakılmaksızın ısı her zaman açığa çıkar, dolayısıyla plakaların hareket hızı biliniyorsa değer hesaplanabilir. Hareket hızı ne kadar yüksek olursa, üretilen ısı da o kadar fazla olur. Plakaların sonsuz yavaş hareketi ile

Enerji değişimi ve kaynak çalışması. Yukarıda, plakalar birbirinden ayrıldığında güç kaynağının yaptığı işin, kapasitörün enerjisindeki değişimin iki katına eşit olduğunu belirtmiştik. Bu gerçek evrenseldir: Bir güç kaynağına bağlı kapasitörün enerjisini herhangi bir şekilde değiştirirseniz, güç kaynağının yaptığı iş, kapasitörün enerjisindeki değişimin iki katına eşittir:

Bundan nasıl emin olabiliyorsun? Kondansatör her zaman güç kaynağına bağlı kaldığından, kondansatör üzerindeki voltaj işlemin hem başında hem de sonunda aynıdır (ancak kondansatör üzerindeki voltaj işlem sırasında daha az olabilir). Bir hal değişimi sırasında kapasitörün yükü bir miktar değişirse enerjisi de bir miktar değişir.

Bu durumda güç kaynağı iş yapmıştır

Enerjinin yarısının “iz bırakmadan kaybolduğuna” dair şüpheleri ortadan kaldırmak için enerji dengesi denklemini yazalım:

Bu işlem sırasında dış cisimlere etki eden kuvvetler tarafından gerçekleştirilen mekanik iş nerede açığa çıkar? Açıkçası ve kaynağın çalışmasının kalan yarısına eşittir. Ama (16) ve (17)'den görülebileceği gibi, bir kaynağa bağlı kapasitörün enerjisindeki bir değişime zorunlu olarak mekanik işin performansı veya ısı salınımının eşlik ettiği süreçler vardır.

Yüklü bir kapasitörün enerjisi için, yükü bir plakadan diğerine aktararak şarj ederken yapılan işi dikkate alarak bir formül elde edin.

Elektrik alanının hacimsel enerji yoğunluğunun neden yoğunluğunun karesiyle orantılı olduğunu niteliksel olarak açıklayın.

Bir nokta yükünün öz enerjisi nedir? Elektrostatik, nokta yüklerin öz enerjisinin sonsuz değeriyle ilgili zorluğun üstesinden nasıl gelir?

Formül (9)'un sağ tarafındaki ilk iki terimin neden nokta yüklerin kendi enerjilerinin hacimsel yoğunluğuna, üçüncü terimin ise yüklerin birbirleriyle etkileşim enerjisine karşılık geldiğini açıklayın.

Herhangi bir işlem sırasında bir kapasitörün enerjisindeki değişimler, bu kapasitörün bağlı olduğu güç kaynağının tüm işlem boyunca çalışmasıyla ilgili olarak nasıldır?

Bir güç kaynağına bağlı bir kapasitörün enerjisindeki değişiklik hangi koşullar altında ısı üretmez?

Dielektrikli kapasitör.Şimdi basitlik açısından dielektrik sabitinin sabit olduğunu varsayarak, plakalar arasında bir dielektrik varlığında kapasitörlerdeki enerji dönüşümlerini ele alalım. Dielektrikli bir kapasitörün kapasitansı, dielektriksiz aynı kapasitörün C kapasitansından birkaç kat daha fazladır. Yükü güç kaynağından ayrılmış olan bir kapasitör enerjiye sahiptir

Pirinç. 52. Dielektrik plakanın düz kapasitöre çekilmesi

Plakalar arasındaki boşluk geçirgenliği olan bir dielektrik ile doldurulduğunda, kapasitörün enerjisi şu kat kadar azalacaktır: Buradan dielektrikin elektrik alanına çekildiği sonucunu hemen çıkarabiliriz.

Kapasitörün sabit şarjı ile geri çekme kuvveti, dielektrik plakalar arasındaki boşluğu doldurdukça azalır. Kapasitör plakaları arasında sabit bir voltaj korunursa, dielektrikteki kuvvet, içeri çekilen parçanın uzunluğuna bağlı değildir.

Bir elektrik alanından dielektrik üzerine etki eden kuvveti bulmak için, sabit bir voltaj kaynağına bağlı yatay olarak yerleştirilmiş bir kapasitöre katı bir dielektrik çizmeyi düşünün (Şekil 52). Bizi ilgilendiren geri çekme kuvvetinin ve bir miktar dış kuvvetin etkisi altında, bir dielektrik parçası içeride olsun. Sıvı dielektrikin yükseliş yüksekliğini bulmak için, hesaplanan geri çekme kuvvetini yükselen sıvının ağırlığına eşitleriz ve elde etmek

Bir sıvının yükselmesi sırasında açığa çıkan ısıyı bulmak için en kolay yol enerjinin korunumu yasasından yararlanmaktır. Yükseltilmiş sıvı sütunu hareketsiz olduğundan, kaynağın yaptığı iş, kapasitörün enerjilerindeki değişikliklerin ve dielektrikin yerçekimi alanındaki potansiyel enerjisinin yanı sıra açığa çıkan ısının toplamına eşittir.

Bunu dikkate alarak ve (21) ilişkisini kullanarak şunu buluruz:

Böylece güç kaynağının işi ikiye bölündü: yarısı kapasitörün elektrostatik enerjisini artırmaya gitti; ikinci yarı, dielektrik maddenin yerçekimi alanındaki potansiyel enerjisindeki artış ile açığa çıkan ısı arasında eşit olarak bölündü. Bu ısı nasıl açığa çıktı? Kapasitör plakaları dielektrik içine daldırıldığında, sıvı kinetik enerji kazanarak yükselmeye başlar ve ataletle denge pozisyonunu geçer. Sıvının viskozitesi nedeniyle yavaş yavaş sönen salınımlar meydana gelir ve kinetik enerji ısıya dönüştürülür. Viskozite yeterince yüksekse, salınım olmayabilir - sıvı denge konumuna yükseldiğinde tüm ısı açığa çıkar.

Elektrostatik enerjideki değişimle birlikte diğer bazı enerji değişikliklerinin ve ısının açığa çıktığı bir süreç için enerjinin korunumu yasasını formüle edin.

Yüklü bir kapasitörün plakaları arasındaki boşluğa dielektrik maddeyi çeken kuvvetlerin oluşumunun fiziksel mekanizmasını açıklayın.