Taylor rütbeleri servis Etkili araçlar fonksiyonların bir daire içinde analitik olarak incelenmesi için zol Bir halka alanında analitik olarak fonksiyonların incelenmesi için, Taylor açılımlarını genelleştiren formun pozitif ve negatif kuvvetlerindeki (z - zq) açılımları oluşturmanın mümkün olduğu ortaya çıktı. İki serinin toplamı olarak anlaşılan seri (1)'e Laurent serisi denir. (1) serisinin yakınsama bölgesinin her bir serinin (2) yakınsama bölgelerinin ortak kısmı olduğu açıktır. Onu bulalım. İlk serinin yakınsama alanı, yarıçapı Cauchy-Hadamard formülü ile belirlenen bir dairedir.Yakınsama dairesinin içinde, seri (3) analitik bir fonksiyona yakınsar ve daha küçük yarıçaplı herhangi bir dairede yakınsar kesinlikle ve aynı şekilde. İkinci seri, bir değişkene göre bir kuvvet serisidir. Seri (5), yakınsaklık çemberi içerisinde karmaşık bir m-*oo değişkeninin analitik fonksiyonuna yakınsar ve daha küçük yarıçaplı herhangi bir çemberde mutlak ve düzgün bir şekilde yakınsar; (4) serisinin yakınsama alanının dairenin dış kısmı olduğu anlamına gelir - O zaman (3) ve (4) serisinin ortak bir yakınsama alanı varsa - (1) serisinin olduğu dairesel bir halka analitik bir fonksiyona yakınsar. Üstelik herhangi bir halkada kesinlikle ve düzgün bir şekilde yakınsar. Örnek 1. İzole Edilmiş Rad Laurent Serisinin yakınsaklık bölgesinin belirlenmesi tekil noktalar ve sınıflandırılmaları M Birinci serinin yakınsak bölgesi çemberin dışı, ikinci serinin yakınsak bölgesi ise çemberin içidir, dolayısıyla bu seri çemberlerde yakınsar Teorem 15. Herhangi bir f(z fonksiyonu) ), açık ve apolitik bir dairesel halka içinde bu halkada, yakınsak bir serinin toplamı şeklinde temsil edilebilir; Cn katsayıları, 7p'nin m yarıçaplı bir daire olduğu formüllere göre benzersiz şekilde belirlenir ve hesaplanır. R halkasının içine keyfi bir z noktası sabitleyelim. Yarıçapı eşitsizlikleri sağlayan r noktasında merkezleri olan daireler çizelim ve yeni bir halka düşünelim.Çarpmalı bağlantılı bir bölge için Cauchy integral teoremini kullanarak, toplamdaki (8) integrallerin her birini ayrı ayrı dönüştürüyoruz. 7d* çemberi boyunca tüm £ noktaları için, düzgün yakınsak 1 1 serisinin toplam ilişkisi sağlanır. Bu nedenle, ^ kesri vi- / "/ olarak temsil edilebilir. Her iki parçayı sürekli bir fonksiyonla çarparak (O ve bunu gerçekleştirerek) Çember boyunca terim-terim entegrasyon, ikinci integralin dönüşümünü biraz farklı bir şekilde gerçekleştirdiğimizi elde ederiz.Çember üzerindeki tüm £ noktaları için ir> bağıntı geçerlidir.Bu nedenle ^ kesri şunun toplamı olarak temsil edilebilir: (10) ve (12) formüllerindeki integrallerin dairesel bir halkadaki analitik fonksiyonlar olduğunu not edin. Bu nedenle, Cauchy's tarafından, düzgün yakınsak bir seri. teoremine göre, 7/r ve 7r/ dairelerini herhangi bir daireyle değiştirirsek karşılık gelen integrallerin değerleri değişmeyecektir.Bu, (10) ve (12) formüllerini birleştirmemize izin verir, İntegralleri sağ tarafa yerleştirerek formül (8), sırasıyla (9) ve (11) ifadeleriyle gerekli genişlemeyi elde ederiz.z, halkanın keyfi bir noktası olduğundan, (14) serisinin her yerde f(z) fonksiyonuna yakınsadığı sonucu çıkar. Bu halkada ve herhangi bir halkada seri bu fonksiyona mutlak ve düzgün yakınsaktır. Şimdi (6) formunun ayrıştırılmasının benzersiz olduğunu kanıtlayalım. Bir genişleme daha olduğunu varsayalım, o zaman R halkasının içinde her yerde çember üzerinde (15) serisi düzgün bir şekilde yakınsar. Eşitliğin her iki tarafını (m sabit bir tamsayı olmak üzere) çarpalım ve her iki seriyi terim terime entegre edelim. Sonuç olarak sol tarafta ve sağ tarafta - Sch elde ederiz. Böylece (4, = St. m keyfi bir sayıdır, son eşitlik açılımın tekliğini kanıtlar.Katsayıları (7) formülü kullanılarak hesaplanan seri (6), halkadaki f(z) fonksiyonunun Laurent serisi olarak adlandırılır. bu serinin negatif olmayan kuvvetleri olan terimlerin kümesine denir doğru kısım Laurent serisi ve negatif olanlarla birlikte ana kısmı. Laurent serisinin katsayıları için formüller (7) pratikte nadiren kullanılır, çünkü kural olarak zahmetli hesaplamalar gerektirirler. Genellikle mümkünse temel fonksiyonların hazır Taylor açılımları kullanılır. Ayrıştırmanın benzersizliğine dayanarak, herhangi bir yasal yöntem aynı sonuca götürür. Örnek 2. Fuiscia /(r)'nin iki tekil noktası olduğunu varsayarak, fonksiyonların çeşitli alanlardaki Laurent serisi açılımlarını düşünün: . Sonuç olarak, merkezi r = 0 noktasında olan üç halka şeklinde bölge vardır. Bunların her birinde f(r) fonksiyonu analitiktir: a) daire bir halkadır, dairenin dış kısmıdır (Şekil 27). Bu bölgelerin her birinde /(z) fonksiyonunun Laurent açılımlarını bulalım. /(z)'yi temel kesirlerin toplamı olarak temsil edelim a) Daire (16) bağıntısını aşağıdaki gibi dönüştürüyoruz Terimlerin toplamı formülünü kullanarak geometrik ilerleme Bulunan açılımları formül (17)'de yerine koyarsak, şunu elde ederiz: Bu açılım, /(z) fonksiyonunun Taylor serisidir. b) -r fonksiyonuna ait halka bu halkada yakınsak kalır, çünkü |z| için j^j fonksiyonuna ait Seri (19) > 1 ıraksar. Bu nedenle, /(z) fonksiyonunu şu şekilde dönüştürürüz: yine formül (19)'u uygulayarak, bu serinin yakınsadığını elde ederiz. (18) ve (21) açılımlarını (20) ilişkisiyle değiştirerek, c) |z| için -z fonksiyonu için dairenin dışını elde ederiz. > 2 ıraksak ve fonksiyon için seri (21) - f(z) fonksiyonunu aşağıdaki biçimde temsil edelim: / (18) ve (19) formüllerini kullanarak OR 1 elde ederiz. Bu örnek, aynı fonksiyon için şunu gösterir: f(z) Laurent açılımı, genel anlamda, farklı tür farklı yüzükler için. Örnek 3. Bir fonksiyonun 8. Laurent serisinin açılımını bulun Laurent serisi İzole edilmiş tekil noktalar ve bunların A halka bölgesinde sınıflandırılması f(z) fonksiyonunun temsilini aşağıdaki biçimde kullanırız: ve ikinci terimi dönüştürürüz. Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı formülünü elde ederiz. Bulunan ifadeleri formül (22)'de yerine koyarsak, Örnek 4'ü elde ederiz. Laurent serisindeki fonksiyonu zq = 0 noktasında genişletiriz. Herhangi bir kompleks için bunu koyalım genişleme herhangi bir z Ф 0 noktası için geçerlidir. bu durumda halkasal bölge, atılmış bir nokta z - 0 olan tüm karmaşık düzlemi temsil eder. Bu bölge aşağıdaki ilişkiyle tanımlanabilir: Bu fonksiyon, Laurent serisinin katsayıları için formül (13)'ten aynı denklemi kullanan bölgede analitiktir. Önceki paragraftaki gibi akıl yürütmeyle Kouiw eşitsizlikleri elde edilebilir. f(z) fonksiyonu, M'nin bir sabit olduğu bir daire üzerinde sınırlıysa, o zaman Yalıtılmış tekil noktalar () noktasının halka komşuluğu varsa, zo noktasına f(z) fonksiyonunun yalıtılmış tekil noktası denir. bu kümeye bazen 2o) noktasının delikli komşuluğu denir ve burada f(z) fonksiyonu benzersiz ve analitiktir. zo noktasında fonksiyon ya tanımsızdır ya da kesin ve analitik değildir. /(r) fonksiyonunun zo noktasına yaklaşırken davranışına bağlı olarak üç tür tekil nokta ayırt edilir. Yalıtılmış bir tekil noktaya şu ad verilir: 1) eğer sonlu varsa çıkarılabilir 2) pmusach ise 3) f(z) fonksiyonunun bir limiti yoksa esas olarak tekil bir nokta. Yalıtılmış bir tekil noktanın türü, Fonksiyonun Laurent'in delinmiş merkezi tarafından genişletilmesinin doğası. Teorem 16. Bir f(z) fonksiyonunun izole edilmiş tekil noktası z0, ancak ve ancak f(z) fonksiyonunun zo noktasının komşuluğundaki Laurent açılımının bir asal kısım içermemesi durumunda çıkarılabilir tekil bir noktadır; Çıkarılabilir tekil nokta olsun şeklindedir. O zaman bir sonlu vardır, dolayısıyla f(z) fonksiyonu z noktasının prokolojik bir komşuluğuyla sınırlıdır. Cauchy eşitsizlikleri nedeniyle p keyfi olarak küçük olarak seçilebildiğinden, tüm katsayılar (z) negatif kuvvetlerdedir. - 20) sıfıra eşittir: Tersine, Laurent /(r) fonksiyonunun zq noktasının komşuluğundaki açılımı sadece doğru kısmı içersin, yani (23) formuna sahip olsun ve dolayısıyla Taylor. z -* z0 için /(z) fonksiyonunun bir sınır değeri olduğunu görmek kolaydır: Teorem 17. f(z) fonksiyonunun yalıtılmış tekil zq noktası ancak ve ancak J(z) fonksiyonu ise çıkarılabilir. zq noktasının delinmiş bir mahallesinde sınırlı, Zgmechai değil. r, /(r) fonksiyonunun çıkarılabilir tekil noktası olsun. /(r) fonksiyonunun merkezi r noktasında olan bir çemberde analitik olduğunu elde ettiğimizi varsayalım. Bu, noktanın adını belirler - çıkarılabilir. Teorem 18. Bir f(z) fonksiyonunun yalıtılmış tekil zq noktası, ancak ve ancak f(z) fonksiyonunun Laurent açılımının noktanın komşuluğundaki asal kısmı sonlu (ve pozitif) bir sayı içeriyorsa kutuptur sıfır olmayan terimlerden oluşan, yani e.4 formundadır. Z0 bir kutup olsun. O zamandan beri z0 noktasının, f(z) fonksiyonunun analitik olduğu ve sıfırdan farklı olduğu delikli bir komşuluğu vardır. O halde bu komşulukta bir analitik fonksiyon tanımlanır ve Bu nedenle zq noktası, fonksiyonun çıkarılabilir tekil noktasıdır (sıfır) veya h(z) bir analitik fonksiyondur, h(z0) Φ 0. O halde h(zo) Φ 0 da analitiktir, o zaman φ fonksiyonu zq noktasının komşuluğunda analitiktir ve bu nedenle bunu nereden elde ederiz? Şimdi f(z) fonksiyonunun, (24) formunun, zq noktasının delikli bir komşuluğunda genişlemesine sahip olduğunu varsayalım. z® noktası. Bu, bu komşulukta f(z) fonksiyonunun fonksiyonla birlikte analitik olduğu anlamına gelir. g(z) fonksiyonu için genişleme geçerlidir, buradan zq'nin g(z) fonksiyonunun çıkarılabilir tekil noktası olduğu ve var olduğu görülebilir.Bu durumda 0'daki fonksiyon, fonksiyonun kutbu olma eğilimindedir. başka bir basit gerçektir. Zq noktası f(z) fonksiyonunun bir kutbudur ancak ve ancak g(z) = yj fonksiyonu g(z0) = 0 olarak ayarlanarak zq noktasının komşuluğundaki bir analitik fonksiyona genişletilebilirse. f(z) fonksiyonunun kutbuna jfa fonksiyonunun sıfır derecesi denir. Aşağıdaki ifade Teorem 16 ve 18'den gelmektedir. Teorem 19. Yalıtılmış bir tekil nokta, ancak ve ancak bu noktanın delinmiş bir komşuluğundaki Laurent açılımının asal kısmının sıfırdan farklı sonsuz sayıda terim içermesi durumunda esas itibarıyla tekildir. Örnek 5. Fonksiyonun tekil noktası zo = 0'dır. Laurent Serisi İzole edilmiş tekil noktalarımız ve bunların sınıflandırılması var. Dolayısıyla zo = O çıkarılabilir bir tekil noktadır. /(z) fonksiyonunun sıfır noktasına yakın bir Laurent serisine genişletilmesi yalnızca doğru kısmı içerir: Örnek7. /(z) = f(z) fonksiyonunun tekil noktası zq = 0'dır. Bu fonksiyonun gerçek ve sanal eksenlerdeki davranışını ele alalım: reel eksende x 0'da, sanal eksende Sonuç olarak, f(z) için z'de ne sonlu ne de sonsuz bir limittir -* 0 mevcut değildir. Bu, r = 0 noktasının f(z) fonksiyonunun esasen tekil bir noktası olduğu anlamına gelir. Sıfır noktası civarında f(z) fonksiyonunun Laurent açılımını bulalım. Herhangi bir C kompleksi için Kümemiz var. O halde Laurent açılımı z'nin negatif kuvvetlerine sahip sonsuz sayıda terim içerir.
Eğer f(x) fonksiyonunun a noktasını içeren belirli bir aralıktaki tüm mertebelerden türevleri varsa, Taylor formülü ona uygulanabilir:
,
Nerede r n– kalan terim veya serinin geri kalanı olarak adlandırılan Lagrange formülü kullanılarak tahmin edilebilir: 
burada x sayısı x ile a arasındadır.
f(x)=
x 0 noktasında = Satır elemanlarının sayısı 3 4 5 6 7
Temel fonksiyonların açılımını kullanın e x , cos(x), sin(x), ln(1+x), (1+x) m
İşlev girme kuralları:
Eğer bir değer için X r n→0 saat N→∞, limitte Taylor formülü bu değer için yakınsak hale gelir Taylor serisi:
,
Dolayısıyla, f(x) fonksiyonu aşağıdaki durumlarda x noktasında bir Taylor serisine genişletilebilir:
1) tüm mertebelerden türevleri vardır;
2) Oluşturulan seri bu noktada yakınsar.
a = 0 olduğunda Maclaurin serisi adı verilen bir seri elde ederiz:
,
Maclaurin serisindeki en basit (temel) fonksiyonların genişletilmesi:
Üstel fonksiyonlar
, R=∞
Trigonometrik fonksiyonlar 
, R=∞ 
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Actgx fonksiyonu x'in kuvvetlerine göre genişlemez çünkü ctg0=∞
Hiperbolik fonksiyonlar
Logaritmik fonksiyonlar
, -1
|C - Zq ve dolayısıyla (25.5)'teki seri ıraksaktır. Sahibiz
Formül (22.C)'yi tekrar uygulayarak şunu elde ederiz:
Tüm C € Г2 için eşitlikler sağlanır
Diziden bu yana qi n yakınsarsa, tekdüze kriter sayesinde
Weierstrass yakınsaması (Teorem 20.2), (25.8)'in sağ tarafındaki seri Г üzerinde yakınsar Ö değişkende kesinlikle ve tekdüze? Yeni bir toplama indeksi sunarak bu seriyi biraz farklı bir biçimde yeniden yazmak bizim için uygundur. İle eşitlik İle = -P - 1, yani P = -İle - 1. Ne zaman P 0,1,2,... değerlerini alır, indeks İle-1, -2, -3____ değerleri üzerinden çalışır
Eşitlikleri (25.9) ile çarpalım f(Q(Üniformayı bozmayacak
(25.9)'daki serinin Γr) çemberi üzerinde yakınsaması ve Γr boyunca terim terim integrali:
Dizin İle(25.10), (25.11) formüllerinde başka herhangi bir harfle değiştirilebilir; özellikle bunu yine n ile gösterebiliriz, burada P= - 1,- 2,... (25.6) ve (25.10) açılımlarını (25.4) yerine koyarsak, (25.2) eşitliğine ulaşırız. İşlev. analitiktir
(İLE - zo)n+l
g g 0 p halkasında, öyle ki r ise Ti ve Гг dairelerinin her ikisi de |С - zq = р dairesi ile değiştirilebilir. Bu durumda (25.7) ve (25.11) eşitlikleri tek bir formül (25.3) ile yazılacaktır. Teorem 25.3 kanıtlanmıştır.
Tamsayı kuvvetleriyle seri (25.2) (z- -th) (hem pozitif hem de negatif), katsayıları şu şekilde belirlenir -
lam (25.3), denir Laurent'ın yanında işlevler f(z). Sıra ^2 cn (z -
P=0
- - Zo)n isminde doğru kısım ve seri c n (z - zq) sen (yaz
Ayrıca c n( z - z o) n) - ana kısım Laurent serisi (makul şekilde
İsimlerin kesin niteliği daha sonra netleşecektir).
Şimdi genişlemenin benzersizliği sorununa dönelim (25.2).
Teorem 25.2 (bir fonksiyonun Laurent serisindeki açılımına ilişkin teklik teoremi). Biraz V halkası içeri girsin= (g z -zo (25.2). O halde f(z) dır-dir
V'deki analitik fonksiyon ve n, n = ile katsayılar 0, ±1, ±2.... genişlemeler formüllerle benzersiz bir şekilde belirlenir (25.3).
Kanıt. Teoremin koşullarına göre (25.2) serisi yakınsak olduğundan V, bu durumda her iki seri de (25.1) denkleminin sağ tarafında birleşir, bileşim
yalan serisi (25.2). İlki bir satırdır Y1 °n(z ~ z o) n ~ dır-dir
merkezle belirli bir daire içinde yakınsayan sıradan bir kuvvet serisi Zo ve bu dairenin dışına çıkıyoruz. Bu seri yakınsak olduğundan V, ardından tüm halka V yakınsama çemberinde yer alır. Tutardan beri
kuvvet serileri yakınsaklık çemberinde analitiktir (özellik 21.6), o zaman
toplam Si (.g) serisi c n (z - zq) h analitiktir V. 21.5 özelliğine göre,
bu seri herhangi bir dairede düzgün yakınsaktır z- zqR"
ama bir sayı cn(z -zo)n - Değişkenleri koyarak değişiklik yapalım z=
=-, İle= - n.Bu durumda incelenen seri V formunu alacaktır. C-uZ k. Bu
z ~ z o k=l
seri değişkene göre bir kuvvet serisidir Z'ler merkez Zo= 0: bir çemberde yakınsar İle R "o bu seri düzgün yakınsaktır (özellik 21.5). Şimdi değişkene dönelim. z. Sonra daire içine alın
/?o kümeye girecek --- z - zo >1 /Ro, onlar. zq merkezi ve yarıçapı 1/Lo olan bir dairenin dışına doğru - Böylece seri
^2 cn (z -Zo)n yakınsar |z - Zo > l/Ro analitik fonksiyona P=-1
5-2(g) ve ıraksar z - zo 1 /Rq. Bu seri yakınsak olduğundan V, sonra tüm yüzük V yakınsama bölgesinde yer alır z-Zo > Bu satırın 1/Yao'su. Aynı zamanda bölgede z- şu > 1 //?hakkında N® Ancak yakınsama tekdüze olacaktır. Özellikle, rad eşit olarak yakınsar |z - z > g", Eğer g" > G.
Yani (25.1) denkleminin sağ tarafındaki her iki seri de halkada yakınsar V ve bunların toplamları Si(z) ve S-j(z) analitiktir V. Yani fonksiyon f(z) = Si (z) + 4* S-z(z) analitik V.
Katsayıların olduğunu gösterelim. s p genişlemeler benzersiz bir şekilde formül (25.3) ile belirlenir. Bir daire alalım Г = (z-zo= /?), nerede d Hadi sayıları alalım G" Ve R" böylece d (25.1)'in sağ tarafındaki her iki sıra halkada düzgün bir şekilde yakınlaşır V= = (z; z - Zo R1)- Bu satır anlamına gelir
içinde düzgün bir şekilde birleşir. Bu özellik, her iki tarafın keyfi bir kuvvetle çarpılmasından sonra kalacaktır. (z -zo)~n~l , n = О, ±1, ±2_____ çünkü bu derecelerin her biri limitin bir fonksiyonudur
değer verilen V(bkz. not 20.5):
Teorem 20.4'e göre, elde edilen seri Γ boyunca terim terim entegre edilebilir:
Şimdi eşitliği (15.7) kullanalım:
buna göre (25.12)'nin sol tarafındaki tüm integraller sıfıra eşittir, biri hariç; k - p - 1 = - 1 (örn. İle = yy) ve bu da 2tgg'ye eşittir. Bu nedenle, (25.12)'nin toplamında yalnızca bir terim kalır. k = n, ve alıyoruz
bu eşitliklere (25.3) eşdeğerdir. Teorem 25.2 kanıtlandı.
Teorem 25.2'nin ispatında (25.2) serisinin iki sayının birliğine indirgendiğini tespit ettik. güç serisi bunlardan biri zq merkezli bir daire içinde ve diğeri aynı merkeze sahip daha küçük yarıçaplı bir dairenin dışında yakınsaktır (ikinci dairenin yarıçapı daha büyük olsaydı, o zaman (25.2) serisinin yakınsaklık kümesi boş olurdu) . Bu dairelerin yarıçaplarını gösterelim R ve g sırasıyla (burada bu sayıların halkanın dış ve iç yarıçaplarıyla çakıştığı belirtilmemiştir) V Teoremler 25.1, 25.2). Bundan ve kuvvet serilerinin özelliklerinden (bkz. §21) serinin (25.2) aşağıdaki özellikleri gelir.
Özellik 25.3. Serinin yakınsak kümesi (25.2) V halkası mı= (z z - zq R), sınırındaki bazı noktaların veya tüm noktaların olası eklenmesiyle. Bu durumda r = 0 durumları mümkündür ve R = oo.
Özellik 25.4. Toplam 5(g) sıra (25.2) V halkasının içindeki analitik bir fonksiyondur.
Özellik 25.5. Sıra (25.2) herhangi bir sayı V halkası içinde terim terim entegre edilebilir ve farklılaştırılabilir jhm. Ortaya çıkan seriler aynı V yakınsama halkasına sahiptir., Ne
ve orijinal seri (25.2); Sınır noktalarındaki yakınsama korunmayabilir.
Özellik 25.6. Eğer V = (g Zo f(z) fonksiyonunun Laurent serisinin yakınsama halkasıdır) ve 0
Kanıt. Laurent fonksiyon serisi/ (z) birleşik oo 1 var
iki kuvvet serisinin birleşimi °n(z ~ z o) n ve c_*Z*, burada Z =-.
n=0 k-z-Z0
Bu serilerin yakınsaklık çemberleri z- 2o| R ve z -zo = R ve = 1/g (yani z - z = g) tekil noktalar var
işlevler Si(z) = c n(z - Zq) sen ve S-2 (z) = Cn(z-z 0)n buna göre
Aslında. Sonuç olarak, bu daireler fonksiyonun tekil noktalarını içerir f(z)= Si (g) + S-2 (z), Q.E.D.
Laurent serisi açılımlarını bulmak için Taylor serisi açılımlarında kullanılan teknikler yaygın olarak kullanılır; yani ikame yöntemi, terim terim entegrasyonu ve serinin farklılaşması vb.
Örnek 25.7. Bir fonksiyonun tüm Laurent açılımlarını bulun
/( g) = f'nin kuvvetleri (z - 1).
" z(z- 1)
Çözüm. Değişken değişikliği yapalım: w = z- 1, yani z = w +
1. Değiştirmeyi gerçekleştirdikten sonra r/(rc) = fonksiyonunu elde ederiz. w. . Bir kere-
(w+ 1)wj
elde edilen kesri en basit kesirlerin toplamına koyun (en basit kesirlerin toplamına genişletme hakkında daha fazla bilgi için, bkz. §32). 
Nerede A Ve D Bulmaya çalıştığınız sayılar. Bu amaçla sağdaki kesirleri ortak paydada buluşturuyoruz:
Şunu takip ediyor w + 2 = A(w + 1) + Bw, ve eşitlik tüm değerler için geçerlidir w, içermek w = 0 ve w =- 1 (bu, eşitliğin sol ve sağ taraflarının sürekliliğinden kaynaklanır). Şu tarihte: w = 0'dan 2 = 0,4 elde ederiz, yani. A= 2; ikame w =-1, elimizde 1 var = -B, onlar. İÇİNDE= - 1. Böylece,
Bu fonksiyonun tekil noktaları var w = 0, w = - 1 ve dolayısıyla V’i halkalarında apolitiktir = (0 w
Şu tarihte: w> 1'de ortaya çıkan serinin yakınsaması sona erer. Bu nedenle işlevi genişletmek g(w) halkada sen 2 kesir dönüştürülmelidir:
Ne zaman |w| > 1 - olacak
yerine z içine koy l/w. Belirtilen değişiklikleri gerçekleştirerek şunu elde ederiz:
(bir değişiklik yaptık k = - (n+ 1) ve (- 1)* = (-I) - *) eşitliğini kullandık. Değişkene geri dönelim z-w+1, fonksiyonun gerekli açılımlarını elde ederiz f(z):
yeni Üye - - (ana parçanın diğer tüm katsayıları eşittir
biz sıfırız) ve (25.13)'teki seri genişlemenin doğru kısmını verir. 1 z - 1'de| z-1| = 0 yarıçaplı 0u|r-1| = 1yarıçaplı 1) fonksiyonun tekil noktalarını içerir f(z).
Yükleniyor...
