Tanım 1
Terimleri keyfi işaretlere (+), (?) sahip olan $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ sayı serisine alternatif seri denir.
Yukarıda tartışılan alternatif seriler, alternatif serilerin özel bir durumudur; Her alternatif serinin dönüşümlü olmadığı açıktır. Örneğin, $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6) serisi ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ alternatif, ancak alternatif bir seri değil.
Alternatif bir seride hem (+) hem de (-) işaretini taşıyan sonsuz sayıda terim bulunduğunu unutmayın. Eğer bu doğru değilse, örneğin, seri sonlu sayıda negatif terim içeriyorsa, o zaman bunlar atılabilir ve yalnızca pozitif terimlerden oluşan bir seri düşünülebilir veya bunun tersi de geçerlidir.
Tanım 2
Eğer $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ sayı serisi yakınsarsa ve toplamı S,kısmi toplam $S_n$'a eşitse, o zaman $r_(n) =S-S_(n) $'a serinin geri kalanı denir ve $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_( n) =\mathop(\ lim )\limits_(n\to \infty ) (S-S_(n))=S-S=0$, yani. yakınsak serinin geri kalanı 0'a eğilimlidir.
Tanım 3
$\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ serisi, eğer seri $\sum \limits _(n=1) terimlerinin mutlak değerlerinden oluşuyorsa mutlak yakınsak olarak adlandırılır. )^(\ infty )\left|u_(n) \right| $.
Tanım 4
$\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ sayı serisi yakınsarsa ve $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_ serisi yakınsarsa (n )\sağ| Üyelerinin mutlak değerlerinden oluşan $ ıraksar, daha sonra orijinal seriye koşullu (mutlak olmayan) yakınsak denir.
Teorem 1 (alternatif serilerin yakınsaması için yeterli bir kriter)
Alternatif bir $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ serisi yakınsar ve eğer terimlerinin mutlak değerlerinden oluşan seri yakınsarsa $\sum \limits _( n=1)^ (\infty )\left|u_(n) \right| $.
Yorum
Teorem 1 sadece şunu verir yeterli koşul Alternatif serilerin yakınsaklığı. Ters teorem doğru değil, yani. $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ alternatif serisi yakınsarsa, bu durumda $\sum \limits _(n=1) modüllerinden oluşan serinin olması gerekli değildir. ^( \infty )\left|u_(n) \right| $ (yakınsak veya ıraksak olabilir). Örneğin, $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( dizisi \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ Leibniz kriterine göre yakınsaktır ve seri, terimlerinin mutlak değerlerinden oluşur $\sum \limits _(n=1 )^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (harmonik seri) ıraksar.
Özellik 1
Eğer $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ serisi mutlak yakınsaksa, o zaman terimlerinin herhangi bir permütasyonu için mutlak yakınsaktır ve serinin toplamı şuna bağlı değildir: terimlerin sırası. $S"$ tüm pozitif terimlerin toplamıysa ve $S""$ negatif terimlerin tüm mutlak değerlerinin toplamıysa, o zaman $\sum \limits _(n=1) serisinin toplamı ^(\infty )u_(n) $ eşittir $S=S"-S""$.
Özellik 2
Eğer $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ serisi mutlak yakınsaksa ve $C=(\rm const)$ serisi ise, o zaman $\sum \limits _(n= 1)^ (\infty )C\cdot u_(n) $ da kesinlikle yakınsaktır.
Özellik 3
$\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ ve $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ serisi kesinlikle yakınsaksa, o zaman $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ serisi de kesinlikle yakınsaktır.
Özellik 4 (Riemann teoremi)
Eğer seri koşullu yakınsaksa, hangi A sayısını alırsak alalım, bu serinin terimlerini, toplamı A'ya tam olarak eşit olacak şekilde yeniden düzenleyebiliriz; Ayrıca, koşullu yakınsak bir serinin terimlerini, bundan sonra ıraksayacak şekilde yeniden düzenlemek mümkündür.
örnek 1
Serilerin koşullu ve mutlak yakınsaklık açısından incelenmesi
\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}
Çözüm. Bu seri alternatif olup genel terimi şu şekilde gösterilecektir: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}
Örnek 2
Mutlak ve koşullu yakınsaklık için $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ serisini inceleyin.
- Seriyi mutlak yakınsaklık açısından inceleyelim. $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $'ı gösterelim ve bir dizi mutlak değer oluşturalım $a_(n) =\ left|u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| serisini elde ederiz. =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ serileri karşılaştırmak için limit testini uyguladığımız pozitif terimlerle. $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) serisiyle karşılaştırma için ) )(n+1) $ $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^( biçiminde olan bir seri düşünün \infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Bu seri $p=\frac(1)(2) üssüne sahip bir Dirichlet serisidir
- Daha sonra, koşullu için $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ orijinal serisini inceliyoruz. yakınsama. Bunun için Leibniz testinin koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol ediyoruz. Koşul 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, burada $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ yani bu seri dönüşümlüdür. Serinin terimlerinin monoton azalmasıyla ilgili koşul 2)'yi kontrol etmek için şunu kullanırız: sonraki yöntem. $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $, $x\in'de tanımlanan yardımcı fonksiyonu düşünün
Yükleniyor...
