Sonsuz sayıda pozitif ve sonsuz sayıda negatif terim içeren sayı serisine alternatif sayı serisi denir.

Mutlak ve koşullu yakınsama

Bir seri aynı zamanda yakınsaksa bu seriye mutlak yakınsak denir.

Bir seri mutlak olarak yakınsaksa, o zaman yakınsaktır (genel anlamda). Bunun tersi doğru değil.

Bir serinin kendisi yakınsaksa ve üyelerinin modüllerinden oluşan seri ıraksaksa, bu seriye koşullu yakınsak denir.

Yakınsama serilerini araştırın .

Alternatif seriler için Leibniz yeterli testini uygulayalım. Aldık

Çünkü . Bu nedenle bu seri yakınsaktır.

38. Alternatif satırlar. Leibniz işareti.

Alternatif bir serinin özel bir durumu, alternatif bir seridir, yani ardışık terimlerin zıt işaretlere sahip olduğu bir seridir.

Leibniz işareti

Yakında değişenler için Leibniz'in yeterli yakınsama testi uygulanır.

(an) öyle bir sayı dizisi olsun ki

1. ve+1< an для всех n;

Daha sonra alternatif seriler çıkıyor.

39. Fonksiyonel satırlar. Güç serisi. yakınsama yarıçapı. Yakınsama aralığı.

Fonksiyonel seri kavramı ve güç serisi

Bildiğiniz sayı serilerinin sayılardan oluştuğunu unutmayın:

Serinin tüm üyeleri NUMBERS'tır.

Fonksiyonel satır FONKSİYONLAR'dan oluşur:

Polinomlar, faktöriyeller ve diğer hediyelerin yanı sıra serinin ortak terimi mutlaka "x" harfini de içerir. Örneğin şuna benziyor:

Sayı serileri gibi, herhangi bir fonksiyonel seri de genişletilmiş biçimde yazılabilir:

Gördüğünüz gibi fonksiyonel serinin tüm üyeleri fonksiyondur.

En popüler fonksiyonel seri türü güç serisi.

Tanım:

Kuvvet serisi, ortak terimi bağımsız değişkenin pozitif tam sayı kuvvetlerini içeren bir seridir.

Pek çok ders kitabında basitleştirilmiş bir kuvvet serisi şu şekilde yazılmıştır: , sayı serilerinin eski tanıdık "doldurulması" nerede (sadece "en" e bağlı olan polinomlar, dereceler, faktöriyeller). En basit örnek:

Bu ayrıştırmaya bakalım ve tanımı yeniden düşünelim: Kuvvet serisinin üyeleri pozitif tamsayı (doğal) kuvvetlerde "x" içerir.

Çoğu zaman, bir kuvvet serisi aşağıdaki "modifikasyonlarda" bulunabilir: veya a'nın bir sabit olduğu yer. Örneğin:

Açıkçası, kuvvet serilerinin basitleştirilmiş gösterimleri tam olarak doğru değil. Üstelde tek harf "en" yerine daha karmaşık bir ifade bulunabilir, örneğin:

Veya bu kuvvet serisi:

Keşke "xAx" noktasındaki üsler doğal olsaydı.

Kuvvet Serisi Yakınsaklığı.

Yakınsama aralığı, yakınsama yarıçapı ve yakınsama alanı

Bu kadar çok terimden korkmanıza gerek yok, bunlar "birbirlerinin yanında" giderler ve anlaşılması özellikle zor değildir. Bazı basit deneysel serileri seçmek ve hemen anlamaya başlamak daha iyidir.

Sizlerden kuvvet serilerini sevmenizi ve tercih etmenizi rica ediyorum. Değişken "eksi sonsuz"dan "artı sonsuz"a kadar her türlü gerçek değeri alabilir. Serinin ortak terimine birkaç rastgele x değeri koyun:

Eğer x=1 ise

Eğer x=-1 ise, o zaman

Üyeleri keyfi olarak (+), (?) işaretlerine sahip olan bir sayı serisine alternatif seri denir. Yukarıda ele alınan alternatif seriler, alternatif serilerin özel bir durumudur; Her alternatif serinin dönüşümlü olmadığı açıktır. Sıra gibi mi? işaret dönüşümlü, ancak işaret dönüşümlü bir seri değil.

Hem (+) hem de (?) işaretli değişken bir terim dizisinde sonsuz sayıda terim bulunduğunu unutmayın. Bu doğru değilse, örneğin, seri sonlu sayıda negatif terim içeriyorsa, o zaman bunlar atılabilir ve yalnızca pozitif terimlerden oluşan bir seri düşünülebilir veya bunun tersi de geçerlidir.

Tanım 1. Bir sayı serisi yakınsaksa ve toplamı S'ye eşitse ve kısmi toplam S n'ye eşitse, serinin geri kalanı olarak adlandırılır ve yani. yakınsak serinin geri kalanı 0'a eğilimlidir.

Yakınsak bir alternatif seriyi şu şekilde düşünün: özel durum alternatif seri

Nerede. Şeklinde yazalım, sonra Leibniz'i baz alarak; o zamandan beri, yani yakınsak serinin geri kalanı 0'a eğilimlidir.

Alternatif seriler için mutlak ve koşullu yakınsaklık kavramları tanıtılmıştır.

Tanım 2. Terimlerinin mutlak değerlerinden oluşan bir seri yakınsaksa, bir seriye mutlak yakınsak denir.

Tanım 3. Bir sayı serisi yakınsarsa ve üyelerinin mutlak değerlerinden oluşan bir seri ıraksarsa, orijinal seriye koşullu (mutlak olmayan) yakınsak denir.

Teorem 2 (alternatif serilerin yakınsaması için yeterli bir kriter). Alternatif bir seri, üyelerinin mutlak değerlerinden oluşan bir seri yakınsarsa yakınsar ve mutlak olarak yakınsar.

Kanıt. Serinin kısmi toplamı ile belirtin: , ve aracılığıyla? serinin kısmi toplamı: . Tüm pozitif terimlerin toplamı ve içerdiği tüm negatif terimlerin mutlak değerlerinin toplamı ile belirtin. Bu çok açık.

Teoremin koşuluna göre seri yakınsaktır, o zaman var olur ve diziden bu yana? o halde monoton olarak artan ve negatif olmayan bir değer. Açıkçası, o zaman ve dizileri monoton olarak artıyor ve sınırlanıyor ve limitleri ve'ye eşit. Daha sonra. Dolayısıyla orijinal alternatif seri yakınsak ve mutlak yakınsaktır. Teorem kanıtlandı.

Yorum. Teorem 2 yalnızca şunu verir yeterli koşul Alternatif serilerin yakınsaklığı. Ters teorem doğru değil, yani. Eğer alternatif bir seri yakınsaksa, modüllerden oluşan bir serinin yakınsaması gerekli değildir (hem yakınsak hem de ıraksak olabilir). Örneğin, Leibniz kriterine göre bir seri yakınsar (bu dersin 1. örneğine bakın) ve terimlerinin mutlak değerlerinden oluşan bir seri (harmonik seri) ıraksar.

Örnek 2. Bir seriyi koşullu ve mutlak yakınsaklık açısından inceleyin.

Çözüm. Bu seri, ortak terimi şu şekilde gösterilen işaret dönüşümlüdür: . Bir dizi mutlak değer oluşturalım ve buna d'Alembert işaretini uygulayalım. Bir sınır koyalım, nerede, . Dönüşümlerden sonra elde ederiz. Dolayısıyla seri yakınsaktır, yani orijinal alternatif seri mutlak yakınsaktır. Cevap: Seri kesinlikle yakınsaktır.

Örnek 3. Seriyi mutlak ve koşullu yakınsaklık açısından inceleyin.

Çözüm. A) Seriyi mutlak yakınsaklık açısından inceliyoruz. Bir dizi mutlak değeri gösterelim ve oluşturalım. Serileri karşılaştırmak için limit kriterini uyguladığımız pozitif terimli bir seri elde ederiz (Teorem 2, ders 2, bölüm 2.2). Bir diziyle karşılaştırma yapmak için şu forma sahip bir dizi düşünün: Bu seri üslü bir Dirichlet serisidir; o ayrışır. Aşağıdaki limiti oluşturup hesaplayalım. Limit mevcut olduğuna göre, 0'a eşit değildir ve ?'ye eşit değildir, bu durumda her iki seri de aynı şekilde davranır. Dolayısıyla seri ıraksaktır, yani orijinal seri tam olarak yakınsak değildir.

B) Daha sonra orijinal seriyi koşullu yakınsaklık açısından inceleyeceğiz. Bunu yapmak için Leibniz testinin koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol ediyoruz (Teorem 1, Bölüm 3.1). Durum 1): , nerede, yani. bu seri dönüşümlüdür. Serinin terimlerindeki monoton azalmaya ilişkin koşul 2)'yi doğrulamak için şunu kullanırız: aşağıdaki yöntem. İçin tanımlanmış bir yardımcı fonksiyon düşünün (fonksiyon bizim için olduğu gibidir). Bu fonksiyonu monotonluk açısından incelemek için türevini buluyoruz: . Bu türev Bu nedenle, x'in belirtilen değerleri için fonksiyon monoton olarak azalır. Nereye varacağımızı varsayarsak. Bu, koşul 2)'nin karşılandığı anlamına gelir. Koşul 3)'ü kontrol etmek için ortak terimin limitini buluyoruz: , yani. üçüncü koşul karşılanmıştır. Böylece Leibniz testinin tüm koşulları orijinal seri için sağlanmıştır; o birleşiyor.

Cevap: Seri koşullu yakınsaktır.

Mutlak ve koşullu yakınsak serilerin özellikleri

Özellik 1. Bir seri mutlak olarak yakınsaksa, terimlerinin herhangi bir permütasyonu için mutlak olarak yakınsar ve serinin toplamı terimlerin sırasına bağlı değildir. Eğer? tüm pozitif terimlerinin toplamı, ha? Negatif terimlerin tüm mutlak değerlerinin toplamı, o zaman serinin toplamı eşittir.

Özellik 2. Eğer bir seri mutlak yakınsaksa ve bu seri de mutlak yakınsaksa.

Özellik 3. Eğer seri ve mutlak yakınsaksa, seri de mutlak yakınsaktır.

Özellik 4 (Riemann teoremi). Eğer seri koşullu yakınsaksa, hangi A sayısını alırsak alalım, bu serinin terimlerini toplamı A'ya tam olarak eşit olacak şekilde yeniden düzenleyebiliriz; dahası, koşullu olarak yakınsak bir serinin terimlerini, daha sonra ıraksayacak şekilde yeniden düzenlemek mümkündür.

Alternatif seriler, terimleri dönüşümlü olarak pozitif ve negatif olan serilerdir. . Çoğu zaman, terimlerin bir ile değiştiği alternatif seriler dikkate alınır: her pozitifin ardından bir negatif gelir, her negatifin ardından bir pozitif gelir. Ancak üyelerin iki, üç vb. sonra dönüşümlü olarak sıralandığı sıralar da vardır.

Başlangıcı şöyle görünen alternatif bir seri örneğini düşünün:

3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...

ve derhal Genel kurallar değişen satırların kayıtları.

Her seride olduğu gibi bu seride de devam edebilmek için serinin ortak terimini belirleyen bir fonksiyon belirtmeniz gerekmektedir. Bizim durumumuzda bu N + 2 .

Peki dizi üyelerinin işaretlerinin değişimi nasıl ayarlanır? Fonksiyonu eksi bir ile bir dereceye kadar çarpmak. Hangi derecede? Serinin terimlerinde hiçbir derecenin işaret değişimi sağlamadığını hemen vurguluyoruz.

Yukarıdaki örnekte olduğu gibi alternatif bir serinin ilk teriminin pozitif olmasını istediğimizi varsayalım. O zaman eksi bir iktidarda olmalı N- 1 . Birden başlayan sayıları bu ifadeye koymaya başlayın ve şunu elde edeceksiniz: eksi birdeki üs olarak, bazen çift, bazen değil çift ​​sayı. İşte bu gerekli kondisyon alternatif karakterler! Aynı sonucu aldığımızda N+ 1 . Alternatif serinin ilk teriminin negatif olmasını istiyorsak, bu seriyi ortak terim fonksiyonunun bir üssü ile çarparak belirtebiliriz. N. Önce çift sayı, sonra tek sayı vb. elde ederiz. Gördüğünüz gibi, işaretlerin değişmesi için daha önce açıklanan koşul yerine getirildi.

Böylece yukarıdaki alternatif seriyi genel biçimde yazabiliriz:

Bir serideki bir terimin alternatif işaretleri için, kuvvet eksi bir toplam olabilir N ve herhangi bir pozitif veya negatif, çift veya tek sayı. Aynı şey 3 için de geçerli N , 5N, ... Yani, değişen serinin üyelerinin işaretlerinin değişmesi, eksi bir dereceyi toplam şeklinde sağlar N herhangi bir tek sayı ve herhangi bir sayı ile çarpılır.

Eksi birdeki hangi dereceler seri üyelerinin işaretlerinin değişimini sağlamaz? Formda mevcut olanlar N sıfır, çift veya tek dahil herhangi bir sayının eklendiği herhangi bir çift sayıyla çarpılır. Bu derecelerin göstergelerine örnekler: 2 N , 2N + 1 , 2N − 1 , 2N + 3 , 4N+ 3 ... Bu tür dereceler durumunda, "en" in eklendiği sayının çift sayıyla çarpılmasına bağlı olarak, ya yalnızca çift ya da yalnızca tek sayılar elde edilir; bu, daha önce öğrendiğimiz gibi, dizi üyelerinin işaretlerini değiştirmeyin.

Alternatif seriler - özel bir durum alternatif seri . Alternatif seriler, keyfi işaretlerin üyelerinden oluşan serilerdir yani herhangi bir sırayla pozitif ve negatif olabilenler. Alternatif seriye bir örnek:

3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...

Daha sonra, alternatif ve alternatif seriler için yakınsama kriterlerini göz önünde bulundurun. Alternatif serilerin koşullu yakınsaklığı Leibniz testi kullanılarak belirlenebilir. Ve daha geniş bir seri aralığı için (alternatif (alternatif dahil)) mutlak yakınsamanın bir işareti vardır.

Alternatif serilerin yakınsaklığı. Leibniz işareti

Alternatif seriler için aşağıdaki yakınsama testi gerçekleştirilir: Leibniz testi.

Teorem (Leibniz testi). Aşağıdaki iki koşul aynı anda karşılanırsa seri yakınsar ve toplamı ilk terimi aşmaz:

• alternatif serinin üyelerinin mutlak değerleri azalır: sen1 > sen 2 > sen 3 > ... > sen n > ...;
• ortak vadesinin sınırsız artışla sınırı N sıfıra eşittir.

Sonuçlar. Alternatif bir serinin toplamı için onun toplamını alırsak N Bu durumda izin verilen hata, atılan ilk terimin mutlak değerini aşmayacaktır.

örnek 1 Bir serinin yakınsaklığını araştırmak

Çözüm. Bu alternatif bir satırdır. Üyelerinin mutlak değerleri azalır:

ve ortak terimin sınırı

sıfıra eşittir:

Leibniz testinin her iki koşulu da sağlandığından seri yakınsar.

Örnek 2 Bir serinin yakınsaklığını araştırmak

Çözüm. Bu alternatif bir satırdır. Önce şunu kanıtlayalım:

, .

Eğer N= 1, o zaman hepsi için N > N eşitsizlik 12 N − 7 > N. Sırasıyla her biri için N. Dolayısıyla serinin terimlerinin mutlak değeri azalır. Serinin ortak teriminin limitini bulalım (kullanarak L'Hopital'in kuralı):

Ortak terimin limiti sıfırdır. Leibniz kriterinin her iki koşulu da karşılandığı için yakınsama sorusunun cevabı olumludur.

Örnek 3 Bir serinin yakınsaklığını araştırmak

Çözüm. Alternatif bir seri verilir. Leibniz işaretinin ilk koşulunun, yani gerekliliğin sağlanıp sağlanmadığını öğrenelim. Gereksinimin karşılanması için gerekli olan

Herkes için gerekliliğin karşılandığından emin olduk N > 0 . İlk Leibniz testi sağlandı. Serinin ortak teriminin limitini bulun:

.

Sınır sıfır değil. Dolayısıyla Leibniz testinin ikinci koşulu sağlanmadığından yakınsama söz konusu değildir.

Örnek 4 Bir serinin yakınsaklığını araştırmak

Çözüm. Bu seride iki negatif terimin ardından iki pozitif terim geliyor. Bu seri de dönüşümlü. Leibniz testinin ilk koşulunun sağlanıp sağlanmadığını bulalım.

İhtiyaç herkes için karşılanıyor N > 1 . İlk Leibniz testi sağlandı. Ortak terimin limitinin sıfıra eşit olup olmadığını öğrenin (L'Hopital kuralını kullanarak):

.

Sıfır aldık. Böylece Leibniz testinin her iki şartı da sağlanmıştır. Yakınsama mevcut.

Örnek 5 Bir serinin yakınsaklığını araştırmak

Çözüm. Bu alternatif bir satırdır. Leibniz testinin ilk koşulunun sağlanıp sağlanmadığını bulalım. Çünkü

,

Çünkü N ≥ 0 , sonra 3 N+ 2 > 0. Sırasıyla her biri için N, Bu yüzden . Sonuç olarak serinin terimlerinin mutlak değeri azalır. İlk Leibniz testi sağlandı. Serinin ortak teriminin limitinin sıfıra eşit olup olmadığını öğrenelim (L'Hopital kuralını kullanarak):

.

Boş bir değer alındı. Leibniz testinin her iki koşulu da sağlandığından bu seri yakınsar.

Örnek 6 Bir serinin yakınsaklığını araştırmak

Çözüm. Bu alternatif seri için Leibniz testinin ilk koşulunun sağlanıp sağlanmadığını bulalım:

Serinin terimleri mutlak değerde azalır. İlk Leibniz testi sağlandı. Ortak terimin limitinin sıfıra eşit olup olmadığını öğrenin:

.

Ortak terimin limiti sıfıra eşit değildir. Leibniz işaretinin ikinci koşulu gerçekleşmemiştir. Bu nedenle bu seri ıraksaktır.

Leibniz işareti bir işarettir serinin koşullu yakınsaklığı. Bu, yukarıda ele alınan alternatif serilerin yakınsaklığı ve ıraksamasına ilişkin sonuçların tamamlanabileceği anlamına gelir: bu seriler koşullu olarak yakınsar (veya ıraksar).

Alternatif serilerin mutlak yakınsaklığı

Sıraya izin ver

- dönüşümlü. Üyelerinin mutlak değerlerinden oluşan bir dizi düşünün:

Tanım. Terimlerinin mutlak değerlerinden oluşan bir seri yakınsaksa bu seriye mutlak yakınsak denir. Alternatif bir seri yakınsarsa ve üyelerinin mutlak değerlerinden oluşan bir seri ıraksarsa, böyle bir alternatif seriye denir. koşullu veya mutlak yakınsak değil .

Teorem. Bir seri mutlak yakınsaksa koşullu yakınsaktır.

Örnek 7 Bir serinin yakınsak olup olmadığını belirleme

Çözüm. Olumlu terimlerin yanında bu seriye karşılık gelen seri Bu genelleştirilmiş harmonik seriler, nerede , yani seri ıraksar. Leibniz testinin koşullarının sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.

Serinin ilk beş teriminin mutlak değerlerini yazalım:

.

Gördüğünüz gibi serinin terimleri mutlak değerde azalıyor. İlk Leibniz testi sağlandı. Ortak terimin limitinin sıfıra eşit olup olmadığını öğrenin:

Boş bir değer alındı. Leibniz testinin her iki şartı da sağlanmıştır. Yani Leibniz'in temelinde yakınsama gerçekleşir. Ve pozitif terimli karşılık gelen seriler ıraksaktır. Dolayısıyla bu seri koşullu yakınsaktır.

Örnek 8 Bir serinin yakınsak olup olmadığını belirleme

kesinlikle, koşullu veya farklı.

Çözüm. Bu seriye karşılık gelen, pozitif terimlerin yanında seridir. Bu, genelleştirilmiş bir harmonik seridir ve bu nedenle seriler birbirinden ayrılır. Leibniz testinin koşullarının sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim.

Teorem. 'da tanımlanan sürekli, negatif olmayan, monoton olarak azalan bir fonksiyon olsun. O zaman seri ve integralin her ikisi de yakınsar veya her ikisi de ıraksar.

Kanıt. Monotonluk nedeniyle eşitsizlikler herkes için geçerlidir. Entegre edersek şunu elde ederiz . Daha sonra , veya . Yani eğer birleşirse, o zaman . Daha sonra ve seri yakınsaktır.

Şimdi tam tersine serinin yakınsak olduğu biliniyor. Daha sonra . Keyfi bir seçim yapmak, böylece . Daha sonra . Yani birleşiyor.

Mutlak yakınsama. Mutlak yakınsak serilerin özellikleri

Tanım. Kesinlikle Yakınsak seri, serinin de yakınsak olduğu yakınsak bir seridir.

Serinin yakınsamasının serinin yakınsamasından kaynaklandığını kanıtlamak kolaydır. Uygulanan Cauchy kriteri ile şunu elde ederiz: . Ortaya çıkan eşitsizlikten Cauchy kriterinin orijinal seri için de sağlandığı ve dolayısıyla yakınsadığı sonucu çıkar.

Belirtin , yani , . Eşitlikler açıktır: . ve serisini düşünün. Eğer yakınsarlarsa seri de yakınsar yani seri kesinlikle yakınsaktır. Eğer seri yakınsaksa o zaman , seri ve aynı zamanda yakınsak. Dolayısıyla mutlak yakınsaklık için serilerin yakınsaklığı gerekli ve yeterlidir.

(Leibniz işareti).

Alternatif serinin (9.4.1) terimleri modulo olarak alınırsa, artmayan sonsuz küçük bir dizi, yani ve sonra bu satır yakınsar.

Hadi getirelim örnekler değişen satırlar.

Bir serinin yakınsaklığını araştırmak .

Bu satır yakınsar Leibniz'e göre terimleri mutlak değerde ve değerde azaldığı için.

Serinin yakınsaklığını araştırınız.

Bu serinin koşulları karşıladığını doğrulamak kolaydır Teoremler 1 ve bu yüzden yakınsar.

Yorum. Leibniz'in teoreminde sadece koşul değil, aynı zamanda koşul da esastır. Yani örneğin bir dizi için ikinci koşul ihlal edilmiştir ve seri ıraksak olmasına rağmen. Bu seri formda sunulursa bu görülebilir. yani çift ​​harmonik seri.

Altında alternatif daha sonra terimlerinden herhangi birinin her ikisi de olabildiği bir diziyi anlayacağız. pozitif, Ve olumsuz.

Keyfi işaretlere sahip terimler içeren bir serinin durumunu düşünün:

. (9.4.2)

Aynı zamanda diziyi de düşünün

, (9.4.3)

(9.4.2) serisinin terimleri nerede?

(alternatif bir serinin yakınsaması için yeterli bir kriter). İtibaren yakınsama seri (9.4.3) şöyledir yakınsama serisi (9.4.2).

işaret pozitif bir serinin yakınsaması için d'Alembert testi

Olumlu işaret serisi verilsin ve var
. O zaman eğer q< 1, то ряд сходится; если q >1 ise seri ıraksar.

İspat: 1) q olsun< 1, докажем, что ряд сходится. Поскольку существует предел
, yazılabilir
veya
bir n (q - )< a n +1 < a n (q + ). Выберем  таким образом, чтобы q +  < 1. Из полученного двойного неравенства и неравенства q +  < 1 следует, что

bir N +2< (q + ) a N +1 ;

birN+3< (q + ) a N +2 < (q + ) 2 a N +1 ;

birN+4< (q + ) a N +3 < (q + ) 3 a N +2 < (q + ) 3 a N +1 .

Dolayısıyla, a N +2 + a N +3 + a N +4 +… serisinin üyeleri, sonsuz geometrik ilerlemenin karşılık gelen üyelerinden a N +1 (q + ) + a N +2 (q)'den küçüktür. + ) 2 + a N + 3 (q + ) 3 +… İlerlemenin paydası birden küçüktür, dolayısıyla ilerleme yakınsak bir seridir (bkz. #1). Karşılaştırıldığında, seri aynı zamanda yakınsaktır.

2) Şimdi q > 1 olsun. Öyle bir  sayısı alın ki q -  da birden büyük olsun. O zaman yeterince büyük n için, bu kanıtın 1) maddesinde türetilen çifte eşitsizlik temelinde, şunu elde ederiz:

Dolayısıyla bir N< a N +1 < a N +2 . Следовательно члены ряда sayıları arttıkça artar, gerekli yakınsama kriteri sağlanmaz. Bu nedenle seri ayrışır. Teorem tamamen kanıtlanmıştır.

Eğer q = 1 ise serinin yakınsaklığının doğasını belirlemek imkansızdır. Örneğin, bir satır yakınsar ve seri ayrışır.

Alternatif satırlar. Leibniz yakınsama kriteri. Mutlak ve koşullu yakınsak seriler kavramı

Alternatif satırlar. Leibniz yakınsama kriteri. Alternatif seri- Herhangi bir komşu terimin zıt işaretlere sahip olduğu bir seri.

Leibniz yakınsama testi: Alternatif serinin üyelerinin mutlak değerleri, sayıları arttıkça monoton bir şekilde azalırsa ve serinin n'inci üyesi, n'de sınırsız bir artışla sıfıra yönelirse, yani;

,

o zaman bu seri yakınsar.

İspat: serinin ilk terimlerinin S 2 m toplamını alın ve şu şekilde yazın:

S 2m \u003d (a 1 - a 2) + (a 3 + a 4) + ... + (a 2m-1 + a 2m).

Serinin terimlerinin mutlak değerlerindeki azalmanın monotonluk durumuna göre parantez içindeki farklar pozitif olduğundan, o zaman

Eğer 2m artıyorsa S 2 m azalmıyor çünkü her seferinde pozitif veya sıfır terimler eklenir.

Öte yandan, aynı miktar şu şekilde temsil edilebilir:

S 2m \u003d a 1 - (a 2 - a 3) - (a 4 - a 5) - ... - (a 2m-2 - a 2m-1) - a 2m.

Parantez pozitif sayılar olduğundan

2 m bir 1.

Sonuç olarak, monoton olarak artan (daha doğrusu azalmayan) ve sınırlı bir dizi olan S 2 m , m   için sonlu bir S limitine sahiptir:

.

Ama şurası açık ki

S 2 m +1 \u003d S 2 m + a 2 m +1.

N'inci terimin sıfıra doğru gitmesi koşuluna dayanarak şunu da elde ederiz:

.

Böylece elde ederiz

n süresiz olarak arttıkça, S n kısmi toplamlarının, n'nin çift ya da tek olmasına bakılmaksızın aynı S sınırına doğru yöneldiğini bulduk. Bu nedenle seri yakınsar.

Mutlak ve koşullu yakınsak seriler kavramı. Farklı burçlardaki üyelerden oluşan diziye ne ad verilir? alternatif. Alternatif seriye denir kesinlikle yakınsak hem serinin kendisi hem de terimlerinin mutlak değerlerinden oluşan seri yakınsaksa. Satır denir koşullu yakınsak, eğer serinin kendisi yakınsa ve üyelerinin mutlak değerlerinden oluşan seri ıraksaksa.

Teorem: alternatif bir seri için ise üyelerinin mutlak değerlerinden oluşan bir seriyi yakınsar , o zaman bu seri de yakınsar.

Kanıt: bir yardımcı seri düşünün

1) 0'dan beri
ve 2) satır
koşulun verdiği serinin yakınsaması nedeniyle aynı zamanda yakınsaksa, karşılaştırma testi temelinde söz konusu yardımcı seriler de yakınsar. Bu nedenle serimiz iki yakınsak serinin farkıdır

=

ve dolayısıyla yakınsar, bu şekilde devam eder.Tersi ifade doğru değildir.

Güç serisi.

Tanım. sonraki güç dizi denir

.

Kuvvet serilerinin yakınsaklığını incelemek için d'Alembert testini kullanmak uygundur.

Örnek. Yakınsama serilerini araştırın

D'Alembert işaretini uyguluyoruz:

.

Bu serinin yakınsak olduğunu görüyoruz.
ve farklılaşıyor
.

Şimdi 1 ve –1 sınır noktalarındaki yakınsamayı tanımlayalım.

x = 1 için:
seri Leibniz testine göre yakınsar (bkz. Leibniz testi).

x = -1 için:
seri ıraksar (harmonik seri).

Abel'in teoremleri.

(Niels Henrik Abel (1802 - 1829) - Norveçli matematikçi)

Teorem. Kuvvet serisi ise
yakınsarX = X 1 , sonra birleşir ve dahası, kesinlikle herkes için
.

Kanıt. Teoremin koşuluna göre serinin terimleri sınırlı olduğundan,

Nerede k sabit bir sayıdır. Aşağıdaki eşitsizlik doğrudur:

Bu eşitsizlikten anlaşılacağı üzere X< X 1 serimizin üyelerinin sayısal değerleri, yukarıda yazılan eşitsizliğin sağ tarafında geometrik bir ilerleme oluşturan serinin karşılık gelen üyelerinden daha az olacaktır (her durumda daha fazla olmayacaktır). Bu ilerlemenin paydası teoremin şartına göre birden küçüktür, dolayısıyla bu ilerleme yakınsak bir seridir.

Dolayısıyla karşılaştırma testine dayanarak serinin şu sonuca varıyoruz:
yakınsar, yani seri
kesinlikle birleşir.

Böylece kuvvet serisi
bir noktada birleşir X 1 , o zaman 2 uzunluk aralığının herhangi bir noktasında mutlak olarak yakınsar bir noktaya odaklanmış X = 0.

Sonuçlar. Eğer x = x 1 seriler ıraksar, sonra hepsi için ıraksar
.

Böylece, her güç serisi için pozitif bir R sayısı vardır; öyle ki, Xöyle ki
seriler mutlak olarak yakınsaktır ve herkes için
sıra birbirinden uzaklaşıyor. Bu durumda R sayısına denir. yakınsama yarıçapı. (-R, R) aralığına denir yakınsama aralığı.

Bu aralığın hem bir hem de iki taraftan kapalı olabileceğini ve kapalı olamayacağını unutmayın.

Yakınsama yarıçapı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Örnek. Bir serinin yakınsaklık alanını bulun

Yakınsama yarıçapını bulma
.

Bu nedenle bu seri herhangi bir değer için yakınsar X. Bu serinin ortak terimi sıfıra yakındır.

Teorem. Kuvvet serisi ise
pozitif bir değere yakınsar x=x 1 , o zaman içindeki herhangi bir aralıkta düzgün bir şekilde yakınsar
.

Güç serileri ile eylemler.

Alternatif seri, alternatif serinin özel bir durumudur.

Tanım 2.2. Herhangi bir sayıdan sonra üyeleri olan bir sayı serisi farklı işaretler, denir alternatif .

Alternatif seriler için aşağıdakiler geçerlidir. yakınsama için genel yeterli kriter.

Teorem 2.2. Alternatif bir seri verilsin

Bu serinin terimlerinin modüllerinden oluşan bir seri yakınsarsa

daha sonra alternatif serinin (2.2) kendisi yakınsar.

Tersi ifadenin doğru olmadığına dikkat edilmelidir: Eğer seri (2.2) yakınsaksa bu, serinin (2.3) yakınsaacağı anlamına gelmez.

Tanım 2.3. kesinlikle yakınsak üyelerinin modüllerinden oluşan seri yakınsarsa.

Alternatif seriye denir koşullu yakınsak eğer kendisi yakınsaksa ve terimlerinin modüllerinden oluşan seri ıraksaksa.

Alternatif seriler arasında mutlak yakınsak seriler özel bir yere sahiptir. Bu tür serilerin kanıt olmadan formüle ettiğimiz bir takım özellikleri vardır.

Toplamları mutlak olarak yakınsak olan iki serinin çarpımı, toplamı olan mutlak olarak yakınsak bir seridir.

Böylece mutlak yakınsak seriler sıradan seriler gibi toplanır, çıkarılır, çarpılır. Bu serilerin toplamları terimlerin yazılma sırasına bağlı değildir.

Koşullu yakınsak seriler durumunda, karşılık gelen iddialar (özellikler) genel olarak geçerli değildir.

Yani koşullu yakınsak bir serinin terimlerinin yeniden düzenlenmesiyle serinin toplamının değişmesini sağlamak mümkündür. Örneğin, bir satır Leibniz testine göre koşullu yakınsaktır. Bu serinin toplamı olsun. Terimlerini, bir pozitif terimden sonra iki negatif terim olacak şekilde yeniden yazalım. Bir dizi alıyoruz

Miktar yarıya indirildi!

Ayrıca, koşullu olarak yakınsak bir serinin terimleri yeniden düzenlenerek, önceden belirlenmiş toplamı olan yakınsak bir seri veya ıraksak bir seri (Riemann teoremi) elde edilebilir.

Bu nedenle seriler üzerinde işlemler mutlak yakınsaklıktan emin olunmadan yapılamaz. Mutlak yakınsaklığı oluşturmak için, sayısal serilerin pozitif terimlerle yakınsaklığının tüm işaretleri kullanılır ve her yerde ortak terimin modülü ile değiştirilir.

Örnek 2.1. .

Çözüm. Orijinal seri işaret değişkenidir. Bu serinin terimlerinin mutlak değerlerinden oluşan bir seri düşünün; sıra . olduğundan, benzer serilerin terimleri Dirichlet serisinin terimlerinden büyük değildir. birleştiği bilinmektedir. Dolayısıyla karşılaştırma testine göre bu seri mutlak yakınsaktır. ,

Örnek 2.2. Seriyi yakınsaklık açısından inceleyin.

Çözüm.

2) Mutlak üyelerden oluşan bir seri düşünün. D'Alembert testini kullanarak yakınsama açısından inceliyoruz

D'Alembert kriterine göre mutlak terimlerden oluşan bir seri yakınsaktır. Dolayısıyla orijinal alternatif seri mutlak yakınsaktır. ,

Örnek 2.3. Yakınsama serilerini araştırın .

Çözüm. 1) Bu seri dönüşümlüdür. Leibniz testini kullanıyoruz. Koşulların karşılanıp karşılanmadığını kontrol edelim.

Bu nedenle orijinal seri yakınsaktır.

2) Mutlak üyelerden oluşan bir seri düşünün. Karşılaştırmanın limit kriterini kullanarak yakınsama açısından inceleyelim. Uzaklaşan bir harmonik seri düşünün.

Bu nedenle her iki satır da aynı şekilde davranır; Mutlak terimlerden oluşan bir seri de ıraksar. Dolayısıyla orijinal alternatif seri koşullu olarak yakınsar. ,